发布时间 : 星期四 文章图像处理中正交变换方法对比更新完毕开始阅读
值方法、曲线曲面构造、微分方程求解、控制论等。在信号分析方面的滤波、去噪声、压缩、传递等。在图象处理方面的图象压缩、分类、识别与诊断，去污等。在医学成像方面的减少B超、CT、核磁共振成像的时间，提高分辨率等。 (1)用于信号与图象压缩是一个重要方面。它的特点是压缩比高，压缩速度快，压缩后能保持信号与图象的特征不变，且在传递中可以抗干扰。基于小波分析的压缩方法很多，比较成功的有小波包最好基方法，小波域纹理模型方法，小波变换零树压缩，小波变换向量压缩等。 (2)在信号分析中的应用也十分广泛。它可以用于边界的处理与滤波、时频分析、信噪分离与提取弱信号、求分形指数、信号的识别与诊断以及多尺度边缘检测等。 (3)在工程技术等方面的应用。包括计算机视觉、计算机图形学、曲线设计、湍流、远程宇宙的研究与生物医学方面。
图像的正交变换作为图像处理技术的重要工具, 通过正交变换改变图像的表示域及表示数据, 给图像处理工作带来了极大的方便。利用这个工具, 可以对 图像的频谱进行各种各样的处理, 如滤波、降噪等。
由于傅里叶变换和余弦变换的变换核由正弦、余弦函数组成, 运算速度受影响, 为此，我们在特定问题中往往引进不同的变换方法,要求运算简单且变换核矩阵产生方便，小波变换占用存储空间少, 产生容易, 有快速算法, 在大量数据需要实时处理的图像处理问题中, 得到广泛应用。
4 傅里叶变换
在图像处理技术的发展中，傅立叶变换起着十分重要的作用,主要体现在以下几个方面：
1.是线性系统分析的一个有力工具;
2.能够定量地分析诸如数字图像之类的数字系统;
3.把傅立叶变换的理论与物理解释相结合，将有利于解决大多数图像处理问题;
4.在图像处理中的应用十分广泛，如图像特征提取、图像恢复、纹理分析等。
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4.1 傅里叶变换的定义及基本概念
傅里叶变换在数学中的定义是严格的。设f(x)为x的函数，如果满足下面的狄里赫莱条件：
（１）具有有限个间断点； （２）具有有限个极值点； （３）绝对可积。 则有下列二式成立 正变换式 F(u)????j2?ux??f(x)edx 反变换式 f(x)???F(u)j2?ux??edu 式中x是时域变量，u为频率变量。如令，则有 F(?)???f(x)?j?x??edx f(x)?1?j?x2????F(?)ed? 通常把以上公式称为傅里叶变换对。
函数f(x)的傅里叶变换一般是一个复量，它可以由式（4—5）表示 F(?)?R(?)?jI(?) 或写成指数形式
F(?)?F(?)ej?(?) F(?)?R(?)2?I(?)2 ?(?)?arctgI(?)R(?) 把 F(?)叫做f(x)的傅里叶幅度谱或频谱，而?(?)叫相位谱。 傅里叶变换广泛用于频谱分析。 例一：求图4—1所示波形f(x)的频谱。
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4-1）4-2）4-3）4-4）
式4-5）4-6）4-7）4-8） （式
（式
（式
（式
（ （式
（式
（式
F(?)???????j?xf(x)edx
?? ??2?Ae2?j?xdx
??Aj??j?(e2?e2) ?j? ?2A?sin??2
则 F(?)?2A?sin??2
sin??2
2(2n?1)? ?A???24n? 0
?????
?(?)? ?
2(2n?1)?????4(n?1)??
f(x)的幅度谱及相位谱如图4—2所示。
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图4-2f(x)的幅度谱及相位谱
例二：求周期函数的傅里叶谱。
一个周期为T的信号f(x)可用傅里叶级数来表示，即
f(x)??F(n)e????jn?0x
2?1T式中 F(n)??T2f(x)e?jn?oxdx ?0?
TT2因此，傅里叶变换可写成下式:
F(?)?F[f(x)][?F(n)e????jn?0x ?F?]]
??F(n)F???? [e?jn?0x
??F(n)???en??????jn?0?e?j?xdx0 ??F(n)???e?j(??n?)dxn??? ?2??F(n) ?( ??n?0)n???
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