发布时间 : 星期四 文章图像处理中正交变换方法对比更新完毕开始阅读
-1 -?≤t＜0
（式3-3）
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0≤t＜?
由下式求得傅立叶系数,
?1an??f(t)cosntdt
??1?（式3-4） bn??f(t)sinntdt
得到矩形波f（t） 的傅立叶级数展开为: 114??sint?sin3t?...?sin(2k?1)t?... f(t)=?32k?1????（式3-5） (???t??;t?0,??,?2?,....)
上面得到的展开式表明:矩形波是由一系列不同频率的正弦波乘以一个权值叠加而成。这些波的频率依次为基波频率的奇数倍。可以看到,求傅立叶系数的过程相当于傅立叶变换的过程,把原始信号展开,相当于傅立叶逆变换的过程。
实际上,“任意”满足收敛的一个波、一个信号都可以分解成无穷多个不同频率的信号。这里说的这些无穷多的不同频率的信号就是标准基波。在DFT中也是类似的意思。假设有限长序列f( x) ( x = 0 ,1 , ?, N - 1) ,一维DFT变换对如下: ?? 其中W?e?j2?N称为变换核。将式（6）写成矩阵形式F = W ·f 即:
W 是正交变换矩阵, 矩阵元素是变换核函数不同次幂构成。W 是正交矩阵,有W - 1
= W T 。可以看出F( u) 是角频率为2πu/ N 信号的加权系数,也就是它在原
始信号中分量的大小。如此诸多标准基波乘以其各自系数再求和得到了原始信号,
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这也就是离散傅立叶反变换。 3.4.2 二维DFT
一幅数字图像可以用一个二维矩阵来表示, f( i , j) 表示i 行j 列这个像素点的灰度值。数字图像处理主要是二维数据处理。假设f ( x , y) ( x =0 ,1 , ?, M - 1 ; y = 0 ,1 , ?, N - 1) 是一幅M ×N 图像,则二维离散傅立叶变换为: M?1N?1uxvy?)NNF(u,v)???f(x,y)eX?0y?0?j2?( u=0，1,…,M-1;v=0,1,…,N-1 （式3-9） 逆变换为：
uxvy1M?1N?1j2x(?)f(x,y)?F(u,v)eNN x=0，1,…,M-1;y=0,1,…,N-1 (式3-10） ??MNux??vy0)v?0?j2?(uNN其中，e称为正交变换核。在二维DFT中同样可以将（式2-9）写成矩阵形式： F = W ·f ·W T
其中f 是原始的二维矩阵, F 是二维DFT 系数矩阵,W 是正交变换矩阵。从式(10) 就可以得到逆变换的矩阵形式,两边左乘W - 1 ,右乘W 得: （式3-11）
因为整段数据或整幅图像的相关性小,相对冗余度低, 所以如果对整段数据
或整幅图像进行DFT ,很难保证能量较大的系数处在相对集中的位置。这不符合我们正交变换的目的。为了消除对整幅图像进行DFT 带来的大能量系数不能集中的问题,在实际应用中一般都将图像划分为8 ×8 或16 ×16 的小方块来做。
一幅图像在空间上作周期性变化, 则该周期的倒数称为空间频率。在图像中, 空间频率的大小表征图像明暗变化的快慢, 决定着图像的细节是否丰富[ 。灰度变化缓慢的区域频率低, 而物体边缘或噪声对应高频。F( u , v) 表示在对应
( u ,v) 的频率点的标准基上的分量大小。这里的标准基类似一维DFT 的标准基, 一维DFT 中标准基是特定频率的波,在二维DFT 中每个标准基就应该是一幅图像,将在2.4.3 节中详细描述标准基图像。考虑二维离散傅立叶逆变换, IDFT 就是将原始图像表示成各个标准基图像的加权和。在图像压缩中常用的就是舍去能量小的标准基图像,只取主分量。以此来达到数据压缩的目的。这样压缩后的图像对视觉效果的影响一般不是很明显,略去的只是细节。但如果舍去的阈值设置过高,就会造成图像模糊。
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3.4.3 正交变换的标准基图像
由于DFT 得到的变换矩阵元素是复数, mat-lab 图像显示工具不能显示复数数值,所以选择了DCT 为例来绘制标准基图像。如前面的讲述,取8×8 的小方块来进行二维DCT 变换。假设F( u ,v) 对应的标准基图像是N uv , 它也是8 ×8 的二维矩阵。则有
f(x,y)???F(u,v)Nu,v （式3-12）
u?ov?0TG(1,:), F(:,1): f }= {G G(1,:),FW (:,。将右边前两个矩阵乘积展开有2)}...{G(1,:),F(:,7)}?: ?{(2-12)设G= W ,则式变为·F ·
?{G(2,:),F(:,1)}{G(2,:),F(:,2)}...{G(2,:),F(:,7)}???W8?8f(x,y)8?8????............??） （式3-13 {G(7,:),F(:,1)}{G(7,:),F(:,2)}...{G(7,:),F(:,7)}?? 这里的｛G( i , :) , f ( : , j) ｝表示G的第i 行与F的第j 列所有元素对
M?1N?1应相乘再求和。实际上就是矩阵相乘得到新矩阵中在( i , j) 位置的元素。即: {G(i,:),F(:,j)}??G(i,n),F(n,j) （式3-14）
n?1T再设T = W f ( X , Y ) 中任意位置( x0， y0 ) 的值有: f(x0,y0)? ·F, 则{T(x0,:),W(:,y0)}8??T(x,j)?W(j,y)00j?18 （式3-15）
将上式与式(2-12)88 比较可以发现, 这里的F( i ,j) 就是在( i , j) 位置对应
???G(x0,i)?F(i,j)?W(j,y0)频率上的分量,j G(x?1i?10 ,j)·W(j,y0)就是F( i ,j)对应的标准基图像Nij 中(x0 ,y0)位置的元素数值,即: Nij(x0,y0)?G(x0,i)?W(j,y0) （式3-16）其中i 从1 到8 ,j 从1 到8 得到64个标准基图像的二维矩阵, 每个矩阵中又有
x0 从1 到8 ,y0 从1到8 得到8×8 个矩阵元素。
经过上面讨论,得到了标准基图像的表达式。图2 就是8×8 二维DCT变换中的标准基图像。
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图2-2 8×8 二维DCT标准基图像
可以看出,只要给定了变换核函数或变换矩阵就可以得到标准基图像。有了标准基图像,就可以更直观地将正交变换理解为对原始图像在诸多标准基图像上的分解。通过对权值矩阵的处理即变换域处理,达到图像处理的目的,得到新的权值矩阵再反变换得到处理后的图像。实际上可以把标准基图像作为一个抽象概念应用到所有的二维正交变换中,并不局限于上面显示的二维DCT。
3.5 正交变换在图像处理中的应用
正交变换研究已经在科技信息产业领域取得了令人瞩目的成就。电子信息技术是六大高新技术中重要的一个领域，它的重要方面是图象和信号处理。现今，信号处理已经成为当代科学技术工作的重要部分，信号处理的目的就是：准确的分析、诊断、编码压缩和量化、快速传递或存储、精确地重构(或恢复)。从数学地角度来看，信号与图象处理可以统一看作是信号处理(图象可以看作是二维信号)，小波分析的许多分析和应用问题，都可以归结为信号处理问题。现在，对于其性质随时间是稳定不变的信号（平稳随机过程），处理的理想工具仍然是傅立叶分析。但是在实际应用中的绝大多数信号是非稳定的（非平稳随机过程），而特别适用于非稳定信号的工具就是小波分析。
事实上正交变换的应用领域十分广泛，它包括：数学领域的许多学科；信号分析、图象处理；量子力学、理论物理；军事电子对抗与武器的智能化；计算机分类与识别；音乐与语言的人工合成；医学成像与诊断；地震勘探数据处理；大型机械的故障诊断等方面；例如，在数学方面，它已用于数值分析、构造快速数
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