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2.4 单元测试二 一、填空题
?x1?x2?x3?a1;?x?x?x?a;2342??1. 实数x1,x2,x3,x4,x5满足方程组?x3?x4?x5?a3;其中a1,a2,a3,a4,a5是实常数,且
?x?x?x?a;514?4??x5?x1?x2?a5.a1?a2?a3?a4?a5,用“＜”号连接x1,x2,x3,x4,x5：___________________________
2. 如果方程x2?px?1?0?p?0?的两根之差等于1，那么p=_____________
xyyz111zx3. 如果?1 ，?2，?3，那么??=
x?yy?zxyzz?x4. 实数x，y满足x?y?1，且2x2?xy?5x?y?4?0，则x+y=_____________ 5. 已知x、y是正整数，并且xy?x?y?23，x2y?xy2?120，则x2?y2=____________
6. 在直角坐标系中，坐标都是整数的点称为整点，设k为整数，当直线y?x?3和y?kx?k的交点为整数时，k可以取的值有________个
xyxy??1??1，则x+y=__________ ，333333333?43?65?45?615158. 已知a,b是正整数，且满足2(?)是整数，则这样的有序数对(a,b)共有____对
ab7. 若实数x、y满足
三、解答题
?a?b?82bx?cx?a?0的根. 9. 已知a，b，c满足方程组：?，求方程2?ab?c?82c?48
10. 设关于x的二次方程k2?6k?8x2?2k2?6k?4x?k2?4的两根都是整数．求满足条件的所有实数k的值．
????11. 已知a是正整数，如果关于x的方程x3??a?17?x2??38?a?x?56?0的根都是整
数，求a的值.
12. 已知实数m、n满足3m?2m?5?0和5n?2n?3?0，求m?
221的值. n3.1 基本不等式 一、基本概念与公式
a?b?ab，当且仅当a＝b时取等号． 2a?b2. 文字描述：设a＞0，b＞0，则a，b的算术平均数为，几何平均数为ab，基本
21. 基本不等式：当a＞0，b＞0时，
不等式可叙述为两个正数的算术平均数大于或等于它们的几何平均数． 3.公式变形
（1）实数a、b，a2＋b2≥2ab，当且仅当a＝b时取等号； ba
（2）实数a、b同号时，＋≥2，当且仅当a＝b时取等号；
ab
?a?b?（3）实数a、b，ab???，当且仅当a＝b时取等号；
2??a2?b2?a?b?a2＋b2
（4）实数a、b，???2，当且仅当a＝b时取等号．
2?2?4.注意点
（1）当两个正数的积为定植时，可以求它们的和的最小值，当两个正数的和为定植时，可以求它们的积的最小值，正所谓“积定和最小，和定积最大”； （2）求最值的条件“一正，二定，三取等”
二、例题讲解
例1. 若正数x、y、z满足xyz(x+y+z)=4，求(x+y)(y+z)的最小可能值.（2002宇振杯第9题）
22x2y23例2. 已知x，y为非负实数，满足1??1??，求xy的最大值.（2017大同杯
4162第10题）
例3. 设a是给定的正实数，n 是给定的大于1 的整数，实数x1,x2,x3,???,xn 满足
2，求 x12?x22?x32?????x?an(x1?x2)2?(x1?x3)2?????(x1?xn)2?(x2?x3)2?????(x2?xn)2?????(xn?1?xn)2的最
大值.（2015大同杯第8题）
例4. 如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，BC=2，AC=x，点F在边AB上，点G、H在边BC上，四边形EFGH是一个边长为y的正方形，且AE=AC. （1）求y关于x的函数关系式
（2）当x取何值时，y取得最大值？并求出y的最大值.（2007新知杯第二题）
三、练习题
1. 已知x＞0，y＞0，且2x＋y＝1，求＋的最小值.
1x1y