发布时间 : 星期六 文章2018-2019学年江苏省无锡市江阴市澄东片九年级(下)期中数学试卷 解析版更新完毕开始阅读
探究一：将以上两个三角形如图③拼接（BC和ED重合），在BC边上有一动点P． （1）当点P运动到∠CFB的角平分线上时，连接AP，求线段AP的长； （2）当点P在运动的过程中出现PA＝FC时，求∠PAB的度数．
探究二：如图④，将△DEF的顶点D放在△ABC的BC边上的中点处，并以点D为旋转中心旋转△DEF，使△DEF的两直角边与△ABC的两直角边分别交于M、N两点，连接MN．在旋转△DEF的过程中，△AMN的周长是否存在有最小值？若存在，求出它的最小值；若不存在，请说明理由．
【分析】（1）如答图1所示，过点A作AG⊥BC于点G，构造Rt△APG，利用勾股定理求出AP的长度；
（2）如答图2所示，符合条件的点P有两个．解直角三角形，利用特殊角的三角函数值求出角的度数；
（3）如答图3所示，证明△AMD≌△CND，得AM＝CN，则△AMN两直角边长度之和为定值；设AM＝x，求出斜边MN的表达式，利用二次函数的性质求出MN的最小值，从而得到△AMN周长的最小值．
【解答】解：探究一：（1）依题意画出图形，如答图1所示：
由题意，得∠CFB＝60°，FP为角平分线，则∠CFP＝30°，
∴CF＝BC?tan30°＝3×∴CP＝CF?tan∠CFP＝
＝×
， ＝1．
过点A作AG⊥BC于点G，则AG＝BC＝， ∴PG＝CG﹣CP＝﹣1＝． 在Rt△APG中，由勾股定理得： AP＝
（2）由（1）可知，FC＝
．
长为半径画弧，与BC交于点P1、P2，则AP1
＝
＝
．
如答图2所示，以点A为圆心，以FC＝＝AP2＝
．
过点A过AG⊥BC于点G，则AG＝BC＝．
在Rt△AGP1中，cos∠P1AG＝∴∠P1AG＝30°，
∴∠P1AB＝45°﹣30°＝15°；
＝＝，
同理求得，∠P2AG＝30°，∠P2AB＝45°+30°＝75°． ∴∠PAB的度数为15°或75°．
探究二：△AMN的周长存在有最小值． 如答图3所示，连接AD．
∵△ABC为等腰直角三角形，点D为斜边BC的中点， ∴AD＝CD，∠C＝∠MAD＝45°． ∵∠EDF＝90°，∠ADC＝90°， ∴∠MDA＝∠NDC． ∵在△AMD与△CND中，
∴△AMD≌△CND（ASA）． ∴AM＝CN．
设AM＝x，则CN＝x，AN＝AC﹣CN＝在Rt△AMN中，由勾股定理得： MN＝
＝
＝
＝
．
BC﹣CN＝
﹣x．
△AMN的周长为：AM+AN+MN＝+，
当x＝时，有最小值，最小值为
．
+＝．
∴△AMN周长的最小值为
【点评】本题是几何综合题，考查了解直角三角形、勾股定理、全等三角形、二次函数最值等知识点．难点在于第（3）问，由发现并证明△AMD≌△CND取得解题的突破点，再利用勾股定理和二次函数的性质求出最小值．
28．（10分）如图，抛物线y＝x2+bx+c的顶点为M，对称轴是直线x＝1，与x轴的交点为A（﹣3，0）和B．将抛物线y＝x2+bx+c绕点B逆时针方向旋转90°，点M1，A1为点M，A旋转后的对应点，旋转后的抛物线与y轴相交于C，D两点．
（1）写出点B的坐标及求抛物线y＝x2+bx+c的解析式； （2）求证：A，M，A1三点在同一直线上；
（3）设点P是旋转后抛物线上DM1之间的一动点，是否存在一点P，使四边形PM1MD的面积最大？如果存在，请求出点P的坐标及四边形PM1MD的面积；如果不存在，请说明理由．
【分析】（1）根据抛物线的对称性即可写出B的坐标，根据对称轴是直线x＝1，与x轴的交点为A（﹣3，0）代入即可得到方程﹣
＝1，0＝
﹣3b+c，解由这两
个组成的方程，即可求出b、c的值，即可得到答案；
（2）把x＝1代入抛物线解析式即可得到M的坐标，根据旋转和图象即可求出M1、A1的坐标，设直线AM的表达式为y＝kx+m，把A、M的坐标代入即可求出直线AM的解析式，把A1的坐标代入即可得到答案；
（3）存在点P使四边形PM1MD的面积最大．连接M1D，只要S△M1PD最大，先代入抛物线的解析式求出F的坐标，设点Q的坐标为（n， n2﹣n﹣
），设直线MF的
表达式为y＝px+q，把M、F的坐标代入即可求出直线MF的解析式，设直线MF上有一点R（m，﹣m﹣），求出S△M1PD＝﹣（m+2）2+
的最大值，求出m的值，进
一步求出Q、P的坐标，再求出四边形PM1MD的面积即可．
【解答】（1）解：∵抛物线y＝x2+bx+c的顶点为M，对称轴是直线x＝1，与x轴的交点为A（﹣3，0）和B， ∴点B的坐标为（5，0），