发布时间 : 星期一 文章第三章《中心对称图形》之基础知识、基本问题和基本方法分解更新完毕开始阅读
《矩形和菱形》
一、矩形和菱形都是一种特殊的平行四边形，这句话说明三层意思： 1、矩形属于平行四边形，所以它具有 的一切性质 菱形属于平行四边形，所以它具有 的一切性质 2、矩形是平行四边形中比较特殊的一种，这种特殊性表现为： （1）从定义看：矩形有一个角是
（2）从性质定理1看，矩形的 （3）从性质定理2看，矩形的对角线 。
菱形是平行四边形中比较特殊的一种，这种特殊性表现为： （1）从定义看：菱形有一组 相等
（2）从性质定理1看，菱形的
（3）从性质定理2看，菱形的对角线 且 。
3、由于上述特殊性的存在，导致了矩形和菱形的判定要比平行四边形的判定更为复杂，这种复 杂性表现为：
（1）从定义来看，要证明一个四边形是矩形，必须先要证明它是平行四边形，再证明这个平行四 边形有一个角是 ，因为定义说： 。
从定义来看，要证明一个四边形是菱形，必须先要证明它是平行四边形，再证明这个平行四 边形有一组 ，因为定义说： 。
（2）从判定定理1来看，要证明一个四边形是矩形，必须要证明这个四边形 。 因为判定定理1的内容是： 。
从判定定理1来看，要证明一个四边形是菱形，必须要证明这个四边形 。 因为判定定理1的内容是： 。
（3）从判定定理2来看，要证明一个四边形是矩形，必须先要证明它是平行四边形，再证明这 个平行四边形的 ，因为判定定理2的内容是： 。 从判定定理2来看，要证明一个四边形是菱形，必须先要证明它是平行四边形，再证明这 个平行四边形的 ，因为判定定理2的内容是： 。 4、总之，由于矩形的特殊性，所以凡是涉及矩形的题目，都必须考虑到“直角”和“对角线相 等”这两个结论，同样，凡是涉及菱形的题目，都必须考虑到“四条边都相等”和“对角线互相垂直”这两个结论，而且通常情况下，没有运用到这些特殊结论的解法，都肯定是错误的。但是，实际运用中，也不是机械的直接套用，而是有一个转化、变换理解、推广与综合其他知识的过程，这就是我们下面要举例讨论的。 二、矩形：
1、矩形的特殊性，首先导致了它具有双重对称性，除了具有本章所描述的中心对称外，还具有轴对称性，并且有 条对称轴 2、矩形的 个角都是 （1）如果我们能将这句话仔细理解一下的话，应该能想到至少在两个方面的运用：求角度和运用勾股定理 如：如图，将矩形ABCD沿直线BD折叠，使点C落在点C’
C'处，BC’交AD于E，AD=8，AB=4，求△BED的面积 EDA
（2）事实上，矩形中存在“直角”这一结论，还会与初一时的“同角的余角相等”结合起来，从而为证明三角形全创造条件
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BC 如：如图，在矩形ABCD中，E、F分别是边BC、AB上的点，且EF＝ED，EF⊥ED．试说明AE平分∠BAD．
AFBEDC
3、矩形的对角线相等，
如图，应该有AC=BD，这个结论简单吧，但是一旦和“对角线互相平分”结合起来，结论就复杂了，因为“AO=CO，BO=CO”再加上“AC=BD”，不难推出“ = = = ”，也就是说，矩形的两条对角线将它分成的四个三角形不但面积都相等，而且都是等腰三角形，具体说来，至少有三方面的意义：
（1）因为都是等腰三角形，所以为在矩形中求角度的问题创造了AD条件
（2）因为都是等腰三角形，所以题目很可能会再给你一个“60°”，
O这样，等边三角形就出来了 ．．．．．
BC
（图甲）
（3）在第一章里，我们曾从等腰三角形的轴对称性出发，运用折纸，得出结论“直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半”，这里运用矩形的对角线的性质，我们也能巧妙的得出这一结论，观察
△ABC，BO是斜边AC上的中线，很明显，BO=
1AC，进一步，我们还能运用此图，得出“直角2三角形中，30°锐角所对的直角边等于斜边的一半”（你会吗？）
另一方面，从解题思路上看，凡知AC，先想AO；凡知AO，先想AC；凡求AO或AC长，应该考虑到是否存在“等边三角形”
问题1：如图甲，在矩形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，∠AOD=120°，AC=6cm，则边AB= ，BC= 。
问题2：如图，O为矩形ABCD的对A D
A角线交点，DF平分∠ADC交AC于点E，O E 交BC于点F，∠BDF＝15°，则∠COF
E＝ ° FC B MF 问题3：如图，在△ABC中，AB=3，
CBAC=4，BC=5，P为边BC上一动点， P PE⊥AB于E，PF⊥AC于F，M为EF的（问题2）
中点，则AM的最小值为 (问题3)
4、矩形的证明：必须从“直角”和“对角线相等”两方面去想，一般地，如果已知条件只是“四边形”，很可能要从“有三个角是直角”角度去证明；而如果已知条件是“平行四边形”的话，优先使用“对角线相等”的方案比较常见：
问题1：如图，AB∥CD，直线EF分别与AB、CD相交于E、F，EG平分∠AEF，FG平分∠CFE，EH平分∠BEF，FH平分∠EFD,四边形EGFH是矩形吗？为什么？
AGCFEHDB
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问题2：如图， ABCD中，以AC为斜边作Rt△ACE，又∠BED=90°，试说明四边形ABCD是矩形
E
A D O
C B
问题3：菱形ABCD中，E,F,G,H分别为四边的中点，试说明四边形EFGH是矩形
AEBFCHGD
问题4：如图△ABC中，点O是AC边上的一个动点，过点O作直线MN∥BC。设MN交∠BCA的平分线于点E，交∠BCA的外角平分线于点F。 （1）试说明：OE=OF
A（2）当点O运动到何处时，四边形AECF是矩
MNEOF形？试说明你的理由。
B
5、关于等积法：
问题1：如图，矩形ABCD被分成8块，图中的数字是其中5块的面积数，则图中阴影部分的面积为__________
问题2：矩形ABCD中，E为AB中点，CF⊥DE于点F，若AD=12，AB=10，求CF的长
E
F
C
DFCA 三、菱形
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EB
1、菱形的特殊性，首先导致了它具有双重对称性，除了具有本章所描述的中心对称外，还具有轴对称性，并且有 条对称轴
2、菱形的定义是非常重要的一种判定菱形的方法，运用此法的前提是必须先证出是平行四边形，然后再证明一组邻边相等
问题1：如图，将两个宽度相同的矩形纸条随意重叠，则重叠部分是菱形吗？请说明理由
问题2：如图，矩形ABCD的对角线相交于点O，DE∥AC，CE∥DB，CE交DE于E。试说明：四边形DOCE是菱形。
问题3：如图，AD是△ABC的角平分线，DE∥AC交AB于E，DF∥AB交AC于F，试猜想AD与EF的关系是 ，说明其中的道理
EDOABBCEAFDC
3、关于菱形的四条边
（1）菱形的四条边都相等，于是只要画任意一条对角线，就可以得到两个等腰三角形，所以，菱形中运用等边三角形的例子也很多，如：已知菱形ABCD，E、F分别为BC、CD上的点，且∠B=∠EAF=60°，若∠BAE=20°，求∠CEF的度数
ABECF
D（2）证明菱形也可以运用“四条边相等的四边形是菱形”来证：如图，若E、F、G、H分别是矩形ABCD四条边的中点，试说明四边形EFGH是菱形。
AFBEDHGC
4、关于菱形的对角线
（1）对角线互相垂直的特性，为运用勾股定理和求面积创造了条件,如：已知菱形ABCD的对角线AC、BD的长分别等于6、8，AE⊥BC于点E，求：（1）菱形ABCD的面积和周长（2）AE的长
AOD
(2)运用“对角线互相垂直的平行四边形是菱形”来证明菱形，似乎并不多见，如果有，是否会和勾股有关呢？
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BEC