发布时间 : 星期三 文章2020届高考数学一轮复习第七篇立体几何与空间向量专题7.7利用空间向量求夹角与距离距离供选用练习含解析更新完毕开始阅读
2.利用法向量求距离问题的程序思想方法 第一步，确定法向量； 第二步，选择参考向量；
第三步，确定参考向量到法向量的投影向量； 第四步，求投影向量的长度.
【易错防范】
1.异面直线所成的角与其方向向量的夹角：当异面直线的方向向量的夹角为锐角或直角时，就是该异面直线的夹角；否则向量夹角的补角是异面直线所成的角. 2.利用向量法求二面角大小的注意点
(1)建立空间直角坐标系时，若垂直关系不明确，应先给出证明；
(2)对于某些平面的法向量，要结合题目条件和图形多观察，判断该法向量是否已经隐含着，不用再求. (3)注意判断二面角的平面角是锐角还是钝角，可结合图形进行，以防结论失误. 【分层训练】
【基础巩固题组】(建议用时：40分钟) 一、选择题
1.若直线l的方向向量与平面α的法向量的夹角等于120°，则直线l与平面α所成的角等于( ) A.120° C.30° 【答案】 C
【解析】 设直线l与平面α所成的角为β，直线l与平面α的法向量的夹角为γ.则sin β＝|cos γ|1＝|cos 120°|＝. 2
又0°≤β≤90°，∴β＝30°.
2.在正方体A1B1C1D1－ABCD中，AC与B1D所成角大小为( ) A.π 6
B.π 4
C.π 3
D.π 2
B.60° D.60°或30°
【答案】 D
【解析】 建立如图所示的空间直角坐标系，设正方体边长为1，则A(0，0，0)，
C(1，1，0)，B1(1，0，1)，D(0，1，0).
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→→
∴AC＝(1，1，0)，B1D＝(－1，1，－1)， →→
∵AC·B1D＝1×(－1)＋1×1＋0×(－1)＝0， π→→
∴AC⊥B1D，∴AC与B1D所成的角为.
2
3.如图，在四棱锥P－ABCD中，底面ABCD是矩形，PA⊥平面ABCD，PA＝AD＝4，AB＝2.以AC的中点O为球心，AC为直径的球面交PD于点M.则CD与平面ACM所成角的正弦值为( ) A.32
B.353
C.3
D.63
【答案】 D
【解析】 如图所示，建立空间直角坐标系，则A(0，0，0)，P(0，0，4)，
B(2，0，0)，C(2，4，0)，D(0，4，0)，M(0，2，2).
所以→AC＝(2，4，0)，→AM＝(0，2，2)，→
CD＝(－2，0，0). 设平面ACM的一个法向量n＝(x，y，z)，由n⊥→AC，n⊥→
AM，
可得???2x＋4y＝0，??
2y＋2z＝0，令z＝1，得n＝(2，－1，1).
?→设所求角为α，则sin α＝
?CD·n???＝6. ?|→CD||n|??
34.在正方体ABCD－A1B1C1D1中，点E为BB1的中点，则平面A1ED与平面ABCD夹角的余弦值为( A.12322 B.3 C.3 D.2
【答案】 B
【解析】 以A为原点，AB，AD，AA1所在直线分别为x轴，y轴，z轴，建立如图所示的 空间直角坐标系，设棱长为1，则A1(0，0，1)，E???1，0，12???，D(0，1，0)，
∴A→(0，1，－1)，A→1D＝1E＝?
?1?
1，0，－2???.
) 14
设平面A1ED的一个法向量为n1＝(1，y，z)，
y－z＝0，→????A1D·n1＝0，??y＝2，
则有?即?1∴?
?→z＝2，1－z＝0，???A1E·n1＝0，??2
∴n1＝(1，2，2).
∵平面ABCD的一个法向量为n2＝(0，0，1)， 22
∴|cos〈n1，n2〉|＝＝，
3×13
2
即平面A1ED与平面ABCD夹角的余弦值为.
3
5.(2019·日照模拟)设正方体ABCD－A1B1C1D1的棱长为2，则点D1到平面A1BD的距离是( ) A.
322223 B. C. D. 2233
【答案】 D
【解析】 如图，以点D为坐标原点，DA，DC，DD1所在直线分别为x轴、y轴、z轴，建立空间直角坐标系，→→→
则D(0，0，0)，D1(0，0，2)，A1(2，0，2)，B(2，2，0)，D1A1＝(2，0，0)，DB＝(2，2，0)，DA1＝(2，0，2)，
设平面A1BD的一个法向量n＝(x，y，z)， →??n·DA1＝0，??2x＋2z＝0，
则?∴?
?→2x＋2y＝0，???n·DB＝0，令z＝1，得n＝(－1，1，1).
→
|D1A1·n|223
∴D1到平面A1BD的距离d＝＝＝.
|n|33二、填空题
6.(2019·昆明月考)如图所示，在三棱柱ABC－A1B1C1中，AA1⊥底面ABC，AB＝BC＝AA1，∠ABC＝90°，点E，
F分别是棱AB，BB1的中点，则直线EF和BC1所成的角是__________.
【答案】 60°
【解析】 以BC为x轴，BA为y轴，BB1为z轴，建立空间直角坐标系.设AB＝BC＝AA1＝2，
则C1(2，0，2)，E(0，1，0)，F(0，0，1)，
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→→
则EF＝(0，－1，1)，BC1＝(2，0，2)， →→
∴EF·BC1＝2， →→
∴cos〈EF，BC1〉＝
1＝，
2×2222
∴EF和BC1所成的角为60°.
7.在正四棱柱ABCD－A1B1C1D1中，AA1＝2AB，则直线CD与平面BDC1所成角的正弦值等于________. 2
【答案】
3
【解析】 以D为坐标原点，建立空间直角坐标系，如图.设AA1＝2AB＝2，则D(0，0，0)，C(0，1，0)，
B(1，1，0)，C1(0，1，2)，则DC＝(0，1，0)，DB＝(1，1，0)， DC1＝(0，1，2).
→→
设平面BDC1的一个法向量为n＝(x，y，z)，则n⊥DB，n⊥DC1，
??x＋y＝0，所以有?令y＝－2，得平面BDC1的一个法向量为n＝(2，－2，1).
?y＋2z＝0，?
→→
→
设直线CD与平面BDC1所成的角为θ，
?n·→DC?→??＝2. 则sin θ＝|cos 〈n，DC〉|＝
?|n||→?DC|?3?
8.(一题多解)已知点E，F分别在正方体ABCD－A1B1C1D1的棱BB1，CC1上，且B1E＝2EB，CF＝2FC1，则平面AEF与平面ABC所成的锐二面角的正切值为________. 【答案】
2
3
【解析】 法一 延长FE，CB相交于点G，连接AG，如图所示.
设正方体的棱长为3，则GB＝BC＝3， 作BH⊥AG于点H，连接EH， 则∠EHB为所求锐二面角的平面角. 32∵BH＝，EB＝1，
2∴tan ∠EHB＝＝
EBBH2. 3
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