发布时间 : 星期六 文章上海市各区县2015届高三上学期期末考试数学理试题分类汇编：圆锥曲线更新完毕开始阅读
所以，当△OPQ的面积S最大时，直线l的方程为y??（直线方程用其他形式也可以）
7x?2． ?????（8分） 28、(1) 根据抛物线的定义可知, 动点P的轨迹是抛物线
所以曲线C的方程为x2=4y；???????????????????????4分 (2) 设点T(x0, y0), x02=4y0 (y0≥0)，
|AT|=(x0?0)?(y0?a)=[y0?(a?2)]?4a?4， a–2>0，则当y0=a–2时，|AT|取得最小值为2a?1， 2a?1=a–1, a2–6a+5=0，a=5或a=1 (舍去)，
所以y0=a–2=3，x0=?23，所以T坐标为(?23, 3)；???????????10分 (3) 显然直线OP1、OP2的斜率都必须存在，记为k，?2221， k?y?kx44，解之得P(,2)，同理P2(–4k, 4k2)， 1?2kk?x?4y1?k21?k22(x?4k) 直线P1P2的斜率为，直线P1P2方程为：y?4k?kk整理得：k(y–4)+(k2–1)x=0，所以直线P1P2恒过点(0, 4)????????????16分
?y2?2px1?9、解：OA的方程为：y?x. 由? 得x2?8px?0， 12?y?x?2所以A(8p,4p)，??????????????????????????3分
由AF?17，可求得p?2.?????????????????????5分 所以A(16,8)，AO中点M(8,4).???????????????????6分 所以OA的垂直平分线的方程为：2x?y?20?0.????????????8分 10、解：（1）法1：设点P的坐标为?x,y?，则由题意可知：
x?y?122x?y?1x?y?1??2y，???????????????????4分 所以22?x?y?1?2y，由于x?y?1?0，x?y?1?0，y?0，?2分
化简可得：y?2?1（2?2?x?2?2）??????????????5分 法2：设点P到三边AC,AB,BC的距离分别为d1,d2,d3，其中d2?y，?|AB|?2|AC|?2|BC|?2.所以 ????于是点P的轨迹方程为y?2?1（
?y?2?1???4分 22d1?y?d3?1222?2?x?2?2）????????5分
d1?d3?2y
（2）由题意知道0?a?b?1，
情况（1）b?a.
直线l：y?a(x?1)，过定点A??1,0?，此时图像如右下： 由平面几何知识可知，直线l过三角形的重心?0,?，
??1?3?1从而b?a?.??????????????????7分
3b??1，故直线l与a两边BC,AC分别相交，设其交点分别为D,E，则直线l与三角形两边
情况（2）b?a.此时图像如右下：令y?0得x???y?ax?b的两个交点坐标D?x1,y1?、E?x2,y2?应该满足方程组：?. ????y?x?1??x?y?1??0因此，x1、x2是一元二次方程：??a?1?x??b?1????a?1?x??b?1???0的两个根.
即a?1x?2a(b?1)x?(b?1)?0, 由韦达定理得：x1x22?2?22?b?1??1xx??而小三角形与原三角形面积比为?x1x2，即12.
2a2?12?b?1???11?a2. 1?a2亦即2所以2b?1?b?1??a?12，?22，
1再代入条件b?a，解得0?a?， 3??从而得到b??1?2,1?.???????????????????????11分
?23?????综合上述（1）（2）得：b??1?2,1?.?????????????????12分
?23??解法2：由题意知道0?a?b?1 情况（1）b?a.
直线l的方程为：y?a(x?1)，过定点A??1,0?， 由平面几何知识可知，直线l应该过三角形的重心?0,?， 从而b?a???1?3?1.??????????????????????????7分 3情况（2）b?a.
设直线l：y?ax?b分别与边BC:y??x?1,x??0,1?， 边AC:y?x?1,x???1,0?的交点分别为点D,E， 通过解方程组可得：D(1?ba?b1?ba?b,)，E(,)，又点C(0,1)， a?1a?1a?1a?1
0∴S?CDE1111?b?2a?11?ba?12a?b11?a221=，同样可以推出?1?b??.
2a?12a?b1a?121亦即b?1?1?a，再代入条件b?a，解得0?a?，
3从而得到b??1???21?.?????????????????????11分
,?23?综合上述（1）（2）得：b??1???21?,?.???????????????12分 23?
解法3：
情况（1）b?a.
直线l的方程为：y?a(x?1)，过定点A??1,0?， 由平面几何知识可知，直线l过三角形的重心?0,?， 从而b?a?分
情况（2）b?a.
??1?3?1.???????????????????????????73b??1，故直线l与两边BC,AC分别相交， a设其交点分别为D,E，当a不断减小时，为保持小三角形面积总为原来的一半，则b也不断减小.
当DE//AB时，?CDE与?CBA相似，由面积之比等于相似比的平方.
21?b2可知，所以b?1?， ?122?21?,?.??????????????????????12综上可知b??1??23??令y?0，得x??分
11、【解】设P(x,y)，其中?2?x?2????????2分
222则|PM|?(x?m)?y=(x?m)?2?21212x?x?2mx?m2?2??5分 22?1(x?2m)2?2?m2，对称轴x?2m?0??7分 2（1） 若0?2m?2，即0?m?1，此时当x?2m时，|PM|min?（2） 若2m?2，即m?1，此时当x?2时，|PM|min?2?m2；??9分
??m2?4m?4?|m?2|；
11分
??2?m2,0?m?1综上所述，|PM|min??????12分
??|m?2|,m?1x2y212、解（1）设双曲线的方程为2?2?1?a?0,b?0?，在已知圆的方程中，令y?0，
ab2得x?4?0，即x??2，则双曲线的左、右顶点为A??2,0?、B?2,0?，于是
a?2????? 2分
令y?2，可得x?8?0，解得x??22，即双曲线过点?22,2，则以b?2，????? 4分
2??84?2?1所22bx2y2??1????????6分 所以所求双曲线方程为
44（2）由（1）得双曲线的两个焦点F1?22,0，F222,0???????? 7分
?当?F1PF2?90时，设点P?x,y?，
????①若点P在双曲线上，得x?y?4，
22?x2?y2?4x?22?y?0?x?8?y?0由?2由FP，1?F2P?0，得x?222?x?8?y?0????222??x??6解得?所以P1y??2????6,2,P222??6,?2,P3?6,2,P4?6,?2?? 11分
?????②若点P在上半圆上，则x?y?4y?4?0?y?2?，由FP1?F2P?0，
?x2?y2?4y?4?0得x?22x?22?y?0，由?无解???????? 13分 22?x?y?8?0???2综上，满足条件的点有4个，分别为
P1?6,2,P2??6,?2,P3?6,2,P4?6,?2???????? 14分
2222?????13、（理）（1）(x?1)?y?4 ?(x?1)?4,y?4
??1?x?3,?2?y?2 ? 界域为{(x,y)||x|?3,|y|?2}?????4分
22（2）设P(x,y)，则x?y?|x?1|?3 ?????6分
化简，得：y2???4x?4?1?x?1 ?????8分
?16?8x1?x?2??1?x?2,?22?y?22