发布时间 : 星期六 文章上海市各区县2015届高三上学期期末考试数学理试题分类汇编：圆锥曲线更新完毕开始阅读
故x1?x2??2k，x1x2??3． ????????????????5分
k2?4k2?4由OA?OB，即x1x2?y1y2?0． ??????????????????6分 而y1y2?k2x1x2?k(x1?x2)?1， 于是x1x2?y1y2??33k22k2?4k2?1．
???1?k2?4k2?4k2?4k2?4所以k??1时，x1x2?y1y2?0，故OA?OB．?????????????8分
2当k??1时，x1?x2?4，x1x2??12．
17217AB?(x2?x1)2?(y2?y1)2?(1?k2)(x2?x1)2，
23而(x2?x1)2?(x2?x1)2?4x1x2?4?4?4?3?4?13，
17217172所以AB?465．???????????????????????10分
17x2y23、解（1）设椭圆C的方程为2?2?1(a?b?0)，半焦距为c，
ab则??a?2c?a?2 解得：?
?a?c?1?c?1x2y2??1 所以，b?3，椭圆方程为43（2）解：存在直线l，使得OA?2OB?OA?2OB成立。
?y?kx?m?由?x2得(3?4k2)x2?8kmx?4m2?12?0 y2??1?43?由??0得3?4k?m。
228km4m2?12,x1?x2?设A(x1,y1),B(x2,y2)，则x1?x2??
3?4k23?4k2由OA?2OB?OA?2OB得，OA?OB?0 所以x1?x2?y1?y2?0 化简得7m?12?12k
22
所以m?212 72由??0得，m?因此，m?23 412 7
4、（1）设动点为(x,y)，则由条件可知轨迹方程是x?1?y?1?k2； 3分 （2）设P为曲线C上任意一点，可以证明
则点P关于直线x??1、点(?1,1)及直线y?1对称的点仍在曲线C上 6分 根据曲线C的对称性和圆的对称性，若存在收敛圆，
则该收敛圆的方程是(x?1)2?(y?1)2?r2(r?0) 7分
2??(x?1)(y?1)?k (1)讨论：x??1,y?1时?最多一个有一个交点r满足条件 8分 222??(x?1)?(y?1)?r(2)k42（1）代入（2）得r?(x?1)? 10分 ?2k2(x?1)22曲线f(x,y)?0存在收敛圆 11分 收敛圆的方程是(x?1)2?(y?1)2?r2(0?r?2k) 13分
x2y2??1； 5、（1）c?3，∵等边三角形，∴AF2?43，AF1?23，a?3，∴36（2）解：设P(x1,y1)，Q(x2,y2)，中点为T?(x0,y0)，然后点差法，
即得
2(x1?x2)y1?y213?12， ??kPQ????(y1?y2)x1?x2kPF2yTyTy0yT??kOT，即点T?与点T重合，所以T为PQ中点，得证； x01∴kOT??（3）解：假设存在这样的直线，设直线l:x?my?3，R(xR,yR)，S(xS,yS) 联立???32?32?y?2x?y??2x得yR?；联立?得yS?；
1?2m1?2m???x?my?3?x?my?3?1?6?(y2R SF1RS?y)2(yR?yS)?22； S?6，即
∴3232??22，该方程无解，所以不存在这样得直线l
1?2m1?2m6、解(1)依据题意，可得点N(y,x).
?AN?(y,x?1),BN?(y,x?1)．
12x， 21?y2?x2?1?x2.
2又AN?BN?x2?所求动点M的轨迹方程为C:?y2?1.
2(2) 若直线l于y轴．
设直线l的斜率为k，则l:y?k(x?1)．
y轴，则可求得|GH|=2，这与已知矛盾，因此满足题意的直线l不平行
?x2??y2?1,2222 由?2 得(1?2k)x?4kx?2k?2?0．
?y?k(x?1).??4k2x?x?,??122k2?1 设点H(x1,y1)、G(x2,y2)，有? 且??0恒成立(因点D在椭圆内
2?xx?2k?212?2k2?1?部)．
又|GH|?32， 22于是，1?k2324k222k2?2322，即1?k(2， (x1?x2)?4x1x2?)?42?22k?12k?122． 22(x?1)． 2解得k??所以，所求直线l:y??(理)证明(3)
直线l与线段AB交于点P，且与点O、A、B不重合，
?直线l的斜率k满足：?1?k?1,k?0．
由(2)可得点P(0,?k)，
?2kk2,y1y2??2 可算得y1?y2?．
2k2?12k?1 又直线HA:y?1?y1?1y?1x,GB:y?1?2x． x1x2??y?1?? 设点Q(xQ,yQ)，则由??y?1???y1?1x，yQ?1x1y2?1x.x2得
yQ?1?y1?1x2?(此等式右边为正数). y2?1x122yQ?12(y1?1)2x21?(y1?y2)?y1y2??0，且()???yQ?1yQ?1(y2?1)2x121?y1?y2?y1y2yQ?1?1+k?=??． ?1?k??
yQ?11?k1，解得yQ??. ?kyQ?11?k1?OP?OQ?(0,?k)?(xQ,?)?1为定值.
kxy?2?7、（1）设F(c,0)，直线AF的点方向式方程为， ??????（2分）
23令y?0，得x?3，即c?3， ???????????????（3分）
222由已知，a?2，所以b?a?c?1． ???????????????（5分）
x2?y2?1． ???????????????（6分） 所以椭圆E的方程为4（2）由题意，设直线l的方程为y?kx?2，
x2?y2?1，得(4k2?1)x2?16kx?12?0， ????（1分） 将y?kx?2代入4322当△?16(4k?3)?0，即k?时，直线l与椭圆E相交， ?????（2分）
416k12xx?设P(x1,y1)，Q(x2,y2)，则x1?x2?，， ???（3分） 124k2?14k2?1所以|PQ|?2(x1?x2)2?(y1?y2)2?(k2?1)(x1?x2)2?(k2?1)[(x1?x2)2?4x1x2]
??16k?248?4k2?12?(k?1)???2?4k?3， ??2??24k?1???4k?1?4k?1??144k2?3又点O到直线l的距离d?，所以△OPQ的面积S?|PQ|?d?． 2224k?1k?14t4设4k2?3?t，则t?0，S?2， ??????（5分） ?t?4t?4t47因为t??4，所以S?1，当且仅当t?2，即k??时，S取最大值1．??（7分）
t22