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高中物理竞赛电学教程 第四讲 电磁感应
点，MN间的弧长为半圆弧PMNQ的一半。试求这两点间的电压UM?UN。
分析：就整个圆环而言，导线的粗细不同，因而电阻的分布不同，但感应电动势的分布都是均匀的。求解时要注意电动势的方向与电势的高低。
解：根据电磁感应定律，整个圆环中的感应电动势的大小为
此电动势均匀分布在整个环路内，方向是逆时针方向。由欧姆定律可知感应电流为
I?ER?2R E????t?14?Db2M、N两点的电压
UM?UN?1R?E?I?2R?42?1482???
由以上各式，可得
U
可见，M点电势比N点低
M?UN???Db§4．5 自感磁场的能量
4．5．1、自感
(1)自感电动势、自感系数
回路本身的电流变化而在回路中产生的电磁感应现象叫自感现象。在自感现象中回路产生的电动势叫自感电动势。由法拉第电磁感定律
?t
这里磁通?是自身电流产生磁场的磁通，按照毕奥—萨尔定律，线圈中的电流所激发的磁场的??n??磁感应强度的大小与电流强度成正比。因而应有??/?t??I/?t。根据法拉第电磁感应定律，可得自感到电动势
?自??L?I?t
L
式中L为比例系数，仅与线圈的大小、形状、匝数以及周围介质情况有关，称为自感系数。在国际单位制中，自感系数的单位是亨利。式中负号表示自感电动势的方向。当电流增加时，自感电动势与原有电流的方向相反；当电流减小时，自感电动势与原有电流的方向相同。要使任何回路中的电流发生改变，都会引起自感应对电流改变的反抗，回路的自感系数越大，自感应的作用就越强，改变回路中的电流也越困难。因此自感系数是线圈本身“电磁惯性”大小的量度。
(2)典型的自感现象及其规律
如图4-5-1所示电路由电感线圈L和灯泡A，以及电阻R和灯泡B组I感 成两个支路连接在一个电源两端。A、B灯泡相同，当K闭合瞬时，L—A
I1 支路中，由于L的自感现象，阻碍电流增大，所以A不能立即发光，而是
逐渐变亮，而B立即正常发光。当稳定后，电流不再变化时，L只在电路
中起一个电阻的作用。流过L—A支路的电流I1，此时L中贮存磁场能为
W?12LI12 A
R
B K
图4-5-1
O (在后介绍)
t
图4-5-2
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当K断开瞬间，L中电流要减小，因而会产生自感电动势ε，在回来L—A—B—R中产生感应电流，从能量观点来看，L释放线圈中磁场能，转变成电能消耗在回路中，所以A、B灯泡应是在K断开后瞬间逐渐熄灭，其回路中电流时间变化如图4-5-2所示。
4．5．2、磁场的能量
见图4-5-3，当K闭合后，回路中电流ι将从零不断增加，而自感系数为L的线圈中将产生自感电动势
?自???i?t?i?t阻碍电流的增加，?和?自合起来产生电流通过电阻R
??L?Ri
??Ri?L?i?t
R L
即
式中i是变化的，方程两边乘以i?t并求和图5-2-1
K ??i?t??Ri2?t??Li?i
显然，方程的左边是电源输出的能量，而方程右边第一项是在电阻R上产生的焦耳热，那剩下的一项显然也是能量，是储存在线圈中的磁场能，下面我们求它的更具体的表达式：
K刚闭合时，i=0，而当电路稳定后，电流不再变化，自感电动势变为零，稳定电流
I??R(忽
图4-5-3
ε
?略电源内阻)，
Li?i这个求和式的求和范围从0到I，令，
y y=i并以i为横作标，y为纵坐标做一坐标系，则y=i在坐标系中为第一象限的角平分线。在横作标i处取??i，?i很小，可认为对应的y为常量，窄条面积?S?y?i?i?i，把从0到I的所有窄条面积加起来?i轴所夹三角形面积，故
y?i??i?i即为y=i与
O
I2?i
I
i
?y?i??i?i?12图4-5-4
代入?W?12Li?iLI2可知储存线圈内的能量。
从公式看，能量是与产生磁场的电流联在一起的，下面我们求出直螺线管的自感系数从而证实能量是磁场的。设长直螺线管长为l，截面积为S，故绕有N匝线圈，管内为真空。当线圈中通有电
B??0nI流I时，管内磁场的磁感应强度，通过N匝线圈的磁通量
l与??LI相比较，可得 L??0Nl2??NBS?N?0NIS??0Nl2IS
S
L??将代 代入磁场能量式
N02lS，
I?B?0n?Bl?0N
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W?12nN0?BlS???Nl?20?1B??v?2n?
202B2单位体积的磁场能量为 2n0
1与电场的能量密度2相比较，公式何等相似。从电学、磁学公式中，我们知道?0对应于n0，
公式的相似来源于电场，磁场的对称性。
另外，公式虽是从长直螺线管的磁场这一特例推导出来，但对所有磁场的均适用。
典型例题
例1、如图4-5-5所示的电路中，电池的电动势??12Vr?1?;R1?2?,R2?9?,R3?15?,L?2H,?0E21?磁场的能量密度公式告诉我们，能量是与磁场联系在一起的。只要有磁场，就有B，就有能量。
，内阻
开始时电键K与A接通。将K迅速地由A移至与B
接通，则线圈L中可产生的最大自感电动势多大？
分析：K接在A点时，电路中有恒定电流I，当K接至B瞬间时，线圈中自感所产生的感应电动势应欲维持这一电流，此瞬时电流I就R1 A K R2 是最大值，维持此电流的感应电动势就是最大自感电动势。 B 解：L为纯电路，直流电阻不计，K接在A时，回路稳定时电流I
为 ??r R3 L
I?2R1?R2?r?1A
当K接到B点时，线圈中电流将逐渐减小至零，但开始时刻，电流仍为I?1A，根据欧姆定律，维持这电流的瞬时自感电动势为
?L?I(R2?R3)?24V
图4-5-5
以后电流变小，自感电动势也减小直至零。
例2、由半径r1?1毫米的导线构成的半径r2?10厘米的圆形线圈处于超导状态，开始时线圈内通有100安培的电流。一年后测出线圈内电流的减小量不足10上限。
?6安培，试粗略估算此线圈电阻率的
解：线圈中电流I(t)的减小将在线圈内导致自感电动势，故
???L(1)
式中L是线圈的自感系数
L??I
?I?t?IR
?2 在计算通过线圈的磁统量?时，以导线附近即r1处的B为最大，而该处B又可把线圈当成无限长载流导线所产生的，即
nIB(r1)?02?r1高中物理竞赛电学教程 第四讲 电磁感应
(r1)?r22?n0r22r12I(t)?＜BL??
n0r22I＜2r1 (2)
r1 (3) 而
把式(2)和式(3)代入式(1)，得
R??2?r2?r12??2r22? ＜
??0r1r2?I4I?3?t (4)
?1把r1?10??I米，r2?1010?6米，I?100安培及 ?3.2?10?14?t＜365?24?3600安培/秒
代入式(4)得
?＜1.0?10?26欧姆/米
这就是超导线圈电阻率的上限。