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高中物理竞赛电学教程 第四讲 电磁感应
过电源内部移往正极，单位正电荷在回路上绕行一周，非静电力做功W?W/q?E?2?r，此处设
???B2?B???S??r?t?t?t，这两个ε在本质与现象该回路半径为r，又根据法拉第电磁感应定律
非的关系，其实是一回事，数值上应相等，即
E涡?2?r??r2?B?t，所以
E涡?r?B2?t。该结果仅适用
?B于r≤R的范围(R是磁场边界半径)，其说明E涡大小由两个因素决定：一是磁感应强度变化率?t；
?B二是r，如果?t是恒量，那么
E涡∝ ，在r＞R处，
E涡2?r??R2?B?t，磁通量??BS中的
R?B2?B?BS，只能计及有磁感线穿过的面积?R2,E涡=2r?t。请我们关注?t这个物理量，这是一个非
常重要的物理量，以下的每个A类例题和B类例题，我们都要跟?t打交道。
产生感应电磁现象的原因是由于感生涡旋电场的作用，假如有一个局限在圆柱形范围内的匀强磁场B，B的方向平行于圆柱体的轴。当B的大小在增加时，感生电场的方向如图图4-4-2所示。根据对称性，在回路上各点处的感生电场方向必然与回路想切，感生电场的电场线是一些同心圆。因此，感生电场的电感线是闭合线，无头无尾，像旋涡一样，所以由磁场变化而激发的电场也叫旋涡电场。而静电场的电感线却是起于正电荷而终于负电荷，是有头有尾的。这是一个很重要的区别。
根据电动势和电场的关系，如果磁场区域半径为R，回路的半径为r，回路上的电场强度为E，则
?rE????t
2E E B E E 图4-4-2
2
因为 ????r?B, 所以有
?r?B?,??2?tE??2R?B??,?2r?t?
4．4．1、磁场中导体的感生电动势
在一个半径为R的长直螺线管中通有变化的电流，使管内圆柱形的空间产生变化的磁场，且
?B/?t＞0(图4-4-3)。如果在螺线管横截面内，放置一根长为R的导体棒ab，使得oa?ab?ob，
?那么ab上的感生电动势ab是多少？如果将导体棒延伸到螺线管外，并使得ab?bc?R呢？
前面已说过：长直通电螺线管内是匀强磁场，而管外磁场为零，所以本题研究的是一个圆柱形匀强磁场。
尽管根据前述E的表达式，可知ab棒所在各点的电场强度，但要
?根据这些场强来求出ab却要用到积分的知识，因此，一般中学生无
B 0 法完成，我们可取个等边三角形面积oab，因为oa和ob垂直于感生
电场的电力线，所以oa和ob上没有感生电动势。又根据法拉第电磁
c 感应定律，oab回路上的感生电动势 a b
图4-4-3
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?????t?34R2?B?t
这也就是?ab的大小。
如果将ab延伸到c，则可研究?oac，根据同样的道理可知 ?ac????3??2?B?R?????t12??t?4?
很明显，上面这个问题可以这样解的前提是磁场局限于圆柱形
a 内。如果一根导体棒是放在一个宽广的或是其它范围不规则的磁场? V ? V 内，那是得不出上述结果的，假如将一个导体闭合回路放在磁场中，
a对磁场就没有那么严格的要求了，这类问题一般说来同学们是熟悉
的，但如果是一个比较复杂的电路放在磁场中，处理时就要用一些新
(b) (a)
的方法。
4．4．2、磁场中闭合电路的感生电动势 图4-4-4
解磁场中一个比较复杂的闭合电路的感生电流的问题，一般除了
用到有关电磁感应的知识以外，还要用到解复杂电路的回路电压定律和节点电流定律。
将一个半径a、电阻为r的圆形导线，接上一个电阻为R的电压表后按图4-4-4(a)、(b)两种方式放在磁场中，连接电压表的导线电阻可忽略，(a)、(b)中的圆心角都是θ。均匀变化的磁场垂直于圆面，变化率?B/?t?k。试问(a)、(b)中电压表的读数各为多少？
因为电压表的读数与它两端的正负无关，所以可以任意假设磁场B的方向和变化率的正负。现在我们设B垂直于纸面向里，且?B/?t?k＞0(图4-4-5)。回路OPS1Q的
?2?????a2??S1?S2??a2?2?2?面积，回路OPS2Q的面积。这两个回路单独存在时的感生电流方向相同，都是逆时针的，感生电动势的大小分
别为
?B???a2?k,?1?S1??t2?
Q I2 S1 I V B P 图4-4-5
S2 IV O I1
??S2?B2?t?2???2???a?k,2
①
?1/?2??/(2???)
PS1Q段导线和QS2P段导线电阻分别为
?2???R1?r,R2?r2?2? 如图4-4-6中标出的电流，应该有
④
③
②
对两个回路分别列出电压方程 ?1?I1R1?IVR, ?2?I2R2?IVRIV?I2?I1
(R为伏特表的内阻)。
⑤
由①、②、③、④、⑤可解得
I2 a O S1? ?S2V IV I a 1
????2?????2????r??R??I2?I1???r??R?,?2???2??
图4-4-6
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即有 I1?I2
因此 IV?0
所以图4-4-4(a)的接法中电压表的读数为零。
再看图4-4-4 (b)中的接法：电流设定如图4-4-6，小回路和大回路的感生电动势大小分别为
?1??S1??122?B12???2???a?asin??k?t2?2??
ka???sin?2?
???S?2?B12?2????2???a?asin??k?t2?2??
?12ka2?2????sin??
IV?I2?I1,(R为伏特表的内阻)。
由上述方程可解得
r?222?IV?2?aksin?/???2?????4??RR??
??2?I2R2?IVR由些可知电压表的读数为
r?222?V?IVR?2?aksin?/???2?????4??R??
本问题中我们用到的电流方程(如③式)和回路电压方程(如④、⑤式)，实际上就是上一讲中提
到过的基尔霍夫方程。在解决电磁感应的问题时，用电压回路方程十分方便，因为电磁感应的电动势是分布在整个回路上的。
附：静电场与感生电场的比较
就产生原因而言，静电场是静止电荷产生的，而感生电场是变化多端的磁场激发的。就性质而言，当单位正电荷绕封闭合回路一周静电场力的功为零。当感生电场驱使单位正电荷绕付线圈一周时，感生电场力的功不为零，其数值恰为副线圈内产生的感生电动势，数值上等于通过副线圈的磁通量对时间的变化率。静电场是保守场，感生电场是非保守场。静电场的电力线是有头有尾的不封闭曲线，而感生电场的电力线是无头无尾的闭合曲线。静电场是有源场，而感生电场是无源场。
R 典型例题
例1、无限长螺线管的电流随时间作线性变化(?I/?t?常数)时，其内部
的磁感应强度B也随时间作线性变化。已知?B/?t的数值，求管内外的感生电
图4-4-7
场。
解：如图4-4-7所示为螺线管的横截面图，C表示螺线管的边缘，其半径为R。由于对称性以及感生电场的电力线是一些封闭曲线的性质，可知管内外的感生电场电力线都是与C同心的同心圆，因此：
当r＜R时，即
??E感?2?r?1?B?S???t
E感?2?r?t
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??1?B2?r?tr?B2?t
??r2
当r＞R时
??E感?2?r??B?t??rR2
2r?t 所以
?E感的大小在管内与r成正比，在管外与r成反比。感生电场电力线的方向可由楞次定律确定，
?BE感?R2?B当?t＞0时，电力线方向为逆时针方向。
例2、在一无限长密绕螺线管中有一均匀磁场，磁感应强度随时间线性变化(即?B/?t?常数)，求螺线管内横截面上长为l的直线段MN上的感生电动势。(横截面圆的圆心O到MN的垂直距离为h)
解:求感生电动势有两种方法。 (1) (1) 根据电动势的定义：某一线段上的感生电动势等于感生电
??l处的E感场搬运单位正电荷沿此段运动时所做的功。在MN上任选一小段?l，O点到?l距离为r，如图4-4-8所示，与?l的夹角为θ，感生电场沿?l移动单位正电荷所做的功为
?A?E感?lcos?r?B2?t??lcos?r?B2?t则
， 而
E感??A?
h?B2?tO M
而 rcos??h
?A??l故
1?B2?t
r h ? ? N ? l 图4-4-8
E然 把MN上所有?l的电动势相加，
????l?12hl?B?t
(2)用法拉第定律求解。连接OM，ON，则封闭回路三角形OMN的电动势等于其所包围的磁通量的变化率。
??BS??????t?1212lhB
hl?B?t
OM和ON上各点的感生电场均各自与OM和ON垂直，单位正电荷OM和
R ON上移动时，感生电场的功为零，故OM和ON上的感生电动势为零，封闭回路
N M OMNO的电动势就是MN上的电动势。
电动势的方向可由楞次定律确定。
D2P Q 例3、两根长度相度、材料相同、电阻分别为R和2R的细导线，围成一直
径为D的圆环，P、Q为其两个接点，如图4-4-9所示。在圆环所围成的区域内， 2R 存在垂直于圆指向纸面里的匀强磁场。磁场的磁感强度的大小随时间增大，变
化率为恒定值b。已知圆环中的感应电动势是均匀分布的。设MN为圆环上的两
图4-4-9
?E感