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高中物理竞赛电学教程 第四讲 电磁感应
况
2、P端的电势高。因为如果有导线连接P，Q两端，则显然感应电动势将产生从P端经过导线流向Q端的电流。
例4、有的问题中杆的运动方向、杆的轴线方向都和B不垂直，杆上各点的速度又不同，处理起来就比较复杂一些，请看下题。
如图4-3-10所示的直角坐标中，有一绝缘圆锥体，半锥角为θ,轴线沿z轴方向，顶点在原点处。有一条长为l的细金属丝OP固定在圆锥体的侧面上，与圆锥体的一条母线重合，空间存在着沿正x方向的匀强磁场B。试讨论当圆锥体如图所示方向做角速度为ω的匀角速转动时，OP上感生电动势的情况。
解:当P点的x坐标为正时，P点的电势都高于O点的电势；当P点的x坐标为负时，P点的电势都低于O点的电势；当P点的y坐标为0，即OP在xOz平面时，OP上的感生电动势最大。此时OP在垂直于B方向上的有效长度为
OQ?OPcos??lcos?,
P点的速度为
vp??QP??lsin?12
而O点的速度为零，所以OP上各点的平均速度为vp/2。因此此时OP上的感生电动势大小为 .
当P点运动到某一位置(图4-3-11)，
P点的x、y坐标都大于零，QP与x轴的
夹角为α时，OP在垂直于B方向上的有图3-2-11效长度为
Os?lcos?/cos?, β为OP在yPz平面上的投影OS与z轴的夹角。 S点绕O点运动的速度为 v?lsin??cos?cos?.
O点的速度始终为零，所以OP上各点在y方向上的平均速度为vs/2。因此此时OP上的感生电动势的大小为
s?m?l?Bsin?cos?2O
Y X
B ? a b Z P w 图4-3-12
e?12l?Bsin?cos?cos?2.
据此，可以延伸一下
例5、在如图4-3-12所示的直角作标系中，有一塑料
制成的半锥角为θ的圆锥体Oab。圆锥体的顶点在原点处，其轴线沿z轴方向。有一条长为l的细金属丝OP固定在圆锥体的侧面上，金属丝与圆锥体的一条母线重合。整个空间中存在着磁感强度为B的均匀磁场，磁场方向沿X轴正方向，当圆锥体绕其轴沿图示方向做角度为ω的匀角速转动时， Y (1)OP经过何处时两端的电势相等？ (2)OP在何处时P端的电势高于O端？ 的最大值是多少？
?B分析:本题的关键是如何处理磁感强度跟棒不垂直的问题。方法
有二个：当金属丝OP经过XOZ平面时，设法求出极短时间内切割的磁感线数，即磁通量??；或把B分解成跟OP垂直的分量B?和跟平OP行的分量B∥。
(3)电势差
UP?UO
O
? X B M N Z w P 图4-3-13
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解法一：(1)当OP经过YOZ平面的瞬间，两端的电势相等。因为此时OP的运动方向和磁场方向平行(同向或反向)
(2)、只要OP处于YOZ平面的内侧，P点的电势总是高于O点。 O X (3)、当OP处于XOZ平面的右侧且运动方向和磁场方向垂直时，即通 过XOZ平面的瞬间(如图4-3-13所示)UP?U0的值最大。其值等于在此瞬间很短时间间隔?t内，OP切割的磁感线数??除以?t，由几何投影可知，??也等于?t内OP在YOZ平面内的投影切割的磁感线的数目。P点在YOZ平面上的投影为沿Y轴做圆频率为?、振幅为Lsin?的简谐运动，此简谐运动在Z轴附近时其速度为?lsin?。因此OP的投影切割的面积为一小三角形(?MON)的面积，即
Y ? a w B P Z 图4-3-14
?S?12lcos???lsin???t
12l?Bcos?sin??t2切割磁感线数即磁通量为
??=B
?S?
根据法拉第电磁感应定律可知
??12?l?Bcos?sin?UP?U0?t2=
方法二：如图4-3-14所示，把磁感强度B正交分解成垂直OP的分量和平行于OP的分量，即 B??Bcos?,B∥=Bsin?
当金属丝OP在匀强磁场B?中绕Z轴转动时，切割磁感线产生的电动势为E=B?Lv中
?l2sin?式中v的为金属丝OP中点的线速度，v=
中中。代入上式得
2E=Bcos
由此得电势差
1UP??l???lsin?1=2B?lsin?cos?2
?U0=2B?lsin?cos?2
'解法三：设想OP是闭合线框OOP的一条边。线框绕OZ轴匀速转动产生的最大动生电动势为 ??B(lsin?lcos?11E=BS
'2)??2B?lsin?cos?2
因为边OP与OO没有切割磁感线，不产生动生电动势，因此OP中的电动势就等于闭合线框OOP中的电动势。由此得电势差
1UP''c=2
解比较复杂的电路时，一般除了用到有关电磁感应知识以外，还要用到解复杂电路的回路电压定律和节点电流定律，请看下例：
例6、如图4-3-15所示，一很长的薄导体平板沿x轴放置，板面位于水平位置，板的宽度为L，电阻可忽略不计，aebcfd是圆弧形均匀导线，其电阻为3R，圆弧所在的平面与x轴垂直。圆弧的两端a
?U0B?lsin?cos?2Bb?? OfdLBx图4-3-15
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1?nR1和d与导体板的两个侧面相接触，并可在其上滑动。圆弧ae=eb=cf=fd=8圆周长，圆弧bc=4圆周长。一内阻Rg的体积很小的电压表位于圆弧的圆心O处，电压表的两端分别用电阻可以忽略的直导线与b和c点相连。整个装置处在磁感强度为B、方向竖直向上的匀强磁场中。当导体板不动而圆弧导线与电压表一起以恒定速度v沿x轴方向平移运动时。
(1)求电压表的读数。
b c Ue?Uf(2)求e点与f点的电势差。 分析:怎样求出各段弧线导线(例如bc段)切割磁感线产生的动生e f V 电动势呢？可以设想在bc间连接一直导线，与bc间弧线导线构成一闭 0 L 合回留，它们一起切割磁感线，都产生动生电动势，但回路中的总电动 a d 势为零，由此得到bc段弧线导线中的电动势等于bc间直导线中的电动
势。用同样的“虚构”回路法，可以求出其他各段弧形导线中的动生电图4-3-16 动势。然后根据右手定则判定各段弧线导线中动生电动势的方向。并画
出如图4-3-16所示的等效电路，再运用一段含源电路的欧姆定律或基尔霍定律列方程，解出所求的未知数。
解: 当圆弧型导线和电压表的连线在磁场中运动时，各段导线都I1E1R切割磁感线，都有感应电动势。由图4-3-17可以看出，弧bc段的感应电动势的大小E1?Blv。弧ae段的感应电动势的大小
E2?Blv(2?1)/2。弧eb,cf,fd各段的感应电动势的大小都等于
I2E3bR/2E3V R/2cE2E2E
2。连接电压表的每根导线中的感应电动势的大小都为E。
由以上分析，可得如图3-2-17所示的等效电路。设各导线中的电
?Blv/23eE2E3fI流分别为I1、I2和3，方向如图所示，则有
Ub?UcUb?UcUb?UcaI2d=-I1R?E1 =-I3Rg?E3?E32
① ② ③ ④
图4-3-17
=2I
R
以及 注意到
I1?I3?I22E3?E1，得图3-2-16
I1R?I3Rg?0??I1R?2I2R?E1?I1?I3?I2??
⑤
解⑤式并将
Rg?nR代入，得
I3?E1/??3n?2?R?,I2???n?1?/?3n?2???E1/R?.
电压表的读数
Uv?I3Rg?nE1/?3n?2??nBLv/?3n?2?2、e点与f点的电势差
Ue?Uf?I2R/2?I2R/2?E2?E2?I2R?2E2??n?1?/?3n?2????讨论?本题中涉及的电动势、电压和电势差3个概念，在本质上是不同的。
2?1BLv
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§4．4 感生电磁感应
导体相对磁场静止，由于磁场的变化而引起导体内感生电动势的现象叫感生电磁感应。
?即：S、a均不变，但B变而使得?变。 产生原因：
分析：回路置于变化的磁场里，最简单的方法就是回路平面和磁场垂直，回路中会产生感应电
1????i???R?t，如果回路不闭合，感生电动势仍是?t，不产生动势，如果回路闭合就有感应电流
感应电流。这是法拉等的发现。由于法拉第自身不可避免的局限，他没有再追究这一现象的深层本质。接过接力棒再创佳绩的是麦克斯韦，他指出感应电动势其实跟导体的性质和种类无关，纯粹是由变化多端的磁场引起的。放置了闭合回路，回路中就有电流，这只是表面现象，不是事情的本质。麦克斯韦相信，即使不在导体回路，变化着的磁场也能在其周围空间激发一种称为涡旋电场的场，涡旋B B ?B电场和静电场的共同点就是对电荷都有作用力，当?恒量?t 然差异点也有不少。例如静电荷它可以单独存在，t t 其电场线是闭合的无头尾无始终。如果恰好变化磁产生E涡 场中有闭合导体回路，变化磁场产生的涡旋电场电产生E涡 E涡场线跟导体不垂直因而分解出与导体相切的分量，t E涡 导体中的自由电荷受其作用力就会定向移动成为t 电流。这就是感应电动势的非静电力的来源。麦克斯
t R 韦最早分析了这种情况，他敏感地预见到这一现
象，表明电场和磁场之间必然有某种当时尚未发现图4-4-1 的新关系。
让我们更具体地分析：一个物理场，既呈现某种空间分布又随时间依一定规律变化。我们说这个场是空间和时间的函数。磁场和电场一样，是矢量场。如果说它是匀强的，是指它非稳恒，空间分布状况不变但随时间改变其大小，场线会随时间变密或变疏。本题中变化磁场产生涡旋电场的问题，按麦克斯韦的理论，是一个十分复杂的问题。仅在非常特殊的场合，再附加上非常苛刻的条件，场的分布才是很确定的，中学阶段我们面对的模型几乎都是这样的：磁场被限制在一个圆柱状空间，有理想边界即磁场在边界上突变，在界内匀强，在圆柱外突变为零。磁感线跟圆柱轴线平行，在与磁场垂直的平面上磁场边界是有限大的圆。按麦克斯韦理论：如果磁场随时间均匀变化，那么产生的涡旋电场就不随时间变化；如果磁场随时间是振荡的，那么产生的涡旋电场就是同频率振荡的，如图4-4-1所示。涡旋电场的电场线是一系列环抱磁感线的同心圆。沿这些同心圆的半径方向放置导体，导体上是不可能产生感应电动势的，在这个方向上导体内的带电粒子即受到涡旋电场力作用也不会沿导体定向移动。如果有环形导体恰好与电场线平行，导体上能产生感应电动势，那是确定无疑的。
在上述这些特殊条件下，由变化磁场产生的涡旋电场，其特征是：①空间各点的与磁场垂直的平面上，即
E涡E涡一定处在
E涡没有跟B平行的分量；②磁场边界内外都有
E涡。上面说过的场线的指
是与磁场边界同心封闭圆，任何一个磁场边界同心的圆周上任意一点的
EE涡沿切线方向；③
EE涡向与磁场变化的关系遵从楞次定律，即涡的方向就是感应电动势的方向；④涡的大小，可以从涡旋电场力是非静电力这一点出发来推导，根据电动势定义，电动势应等于单位正电荷从电源负极通