发布时间 : 星期六 文章(优辅资源)湖南省高三上学期月考(三)数学(文)试题 Word版含答案更新完毕开始阅读
精 品 文 档
3
设数列{an}的前n项和为Sn，已知Sn＝(an－1)．
2(Ⅰ)求a1的值，并求数列{an}的通项公式；
(Ⅱ)若数列{bn}为等差数列，且b3＋b5＝－8，2b1＋b4＝0.设cn＝an·bn，数列{cn}的前
n项和为Tn，证明：对任意n∈N*，Tn＋?n－?·3n＋1是一个与n无关的常数．
2
??
5??
3
【解析】(Ⅰ)当n＝1时，S1＝(a1－1)，即2a1＝3a1－3，所以a1＝3.(1分)
233
因为Sn＝(an－1)，则Sn－1＝(an－1－1)(n≥2)．
22
3
两式相减，得an＝(an－an－1)，即an＝3an－1(n≥2)．(4分)
2所以数列{an}是首项为3，公比为3的等比数列，故an＝a1·qn－1
＝3·3
n－1
＝3.(5分)
n(Ⅱ)因为b3＋b5＝2b4＝－8，则b4＝－4.又2b1＋b4＝0，则b1＝2.(7分)
设{bn}的公差为d，则b4－b1＝3d，所以d＝－2，所以bn＝2＋(n－1)×(－2)＝4－2n.(8分)
由题设，cn＝(4－2n)·3，则Tn＝2·3＋0·3＋(－2)·3＋…＋(4－2n)·3. 3Tn＝2·3＋0·3＋…＋(6－2n)·3＋(4－2n)·3
2
3
2
3
n123nnn＋1
.(9分)
nn＋1
两式相减，得－2Tn＝2·3＋(－2)·3＋(－2)·3＋…＋(－2)·3－(4－2n)·3＝6－2(3＋3＋…＋3)－(4－2n)·3
2
3
nn＋1
.
n－1
9（1－3）15?5?n＋1n＋1
所以Tn＝－3＋＋(2－n)·3＝－＋?－n?·3.(11分)
1－32?2?
15?5?n＋1
故Tn＋?n－?·3＝－为常数．(12分)
2?2?(20)(本小题满分12分)
x2y22??
已知椭圆C：2＋2＝1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1(－1，0)，F2(1，0)，点A?1，?
ab2??
在椭圆C上．
试 卷
精 品 文 档
(Ⅰ)求椭圆C的标准方程；
(Ⅱ)是否存在斜率为2的直线l，使得当直线l与椭圆C有两个不同交点M、N时，能5→→
在直线y＝上找到一点P，在椭圆C上找到一点Q，满足PM＝NQ？若存在，求出直线l的方
3程；若不存在，说明理由．
【解析】(Ⅰ)设椭圆C的焦距为2c，则c＝1，
因为A?1，
??2?
?在椭圆C上，所以2a＝|AF1|＋|AF2|＝22， 2?
2
2
2
因此a＝2，b＝a－c＝1，故椭圆C的方程为＋y＝1.(5分)
2
(Ⅱ)椭圆C上不存在这样的点Q，证明如下：设直线l的方程为y＝2x＋t， 5??设M(x1，y1)，N(x2，y2)，P?x3，?，Q(x4，y4)，MN的中点为D(x0，y0)， 3??
x2
2
y＝2x＋t??2
22
由?x消去x，得9y－2ty＋t－8＝0， 2
＋y＝1??2
2ty1＋y2t22
所以y1＋y2＝，且Δ＝4t－36(t－8)>0，故y0＝＝且－3 929→→ 由PM＝NQ知四边形PMQN为平行四边形，而D为线段MN的中点，因此，D也为线段PQ的中点， 5＋y43t2t－157 所以y0＝＝，可得y4＝，又－3 2993上．(12分) (21)(本小题满分12分) 12 已知函数f(x)＝x，g(x)＝aln x. 2 (Ⅰ)若曲线y＝f(x)－g(x)在x＝1处的切线的方程为6x－2y－5＝0，求实数a的值； (Ⅱ)设h(x)＝f(x)＋g(x)，若对任意两个不等的正数x1，x2，都有 试 卷 h（x1）－h（x2） >2x1－x2 精 品 文 档 恒成立，求实数a的取值范围； (Ⅲ)若在[1，e]上存在一点x0，使得f′(x0)＋数a的取值范围． 12a【解析】(Ⅰ)由y＝f(x)－g(x)＝x－aln x，得y′＝x－， 2x由题意，1－a＝3，所以a＝－2.(2分) 12 (Ⅱ)h(x)＝f(x)＋g(x)＝x＋aln x， 2因为对任意两个不等的正数x1，x2，都有 1 f′（x0） h（x1）－h（x2） >2， x1－x2 设x1>x2，则h(x1)－h(x2)>2(x1－x2)，即h(x1)－2x1>h(x2)－2x2恒成立， 12 问题等价于函数F(x)＝h(x)－2x，即F(x)＝x＋aln x－2x在(0，＋∞)为增函数．(4 2分) 所以F′(x)＝x＋－2≥0在(0，＋∞)上恒成立，即a≥2x－x在(0，＋∞)上恒成立， 所以a≥(2x－x)max＝1，即实数a的取值范围是[1，＋∞).(6分) 2 ax2 (Ⅲ)不等式f′(x0)＋ 11a f′（x0）x0x0 1＋a整理得x0－aln x0＋<0. x0 1＋a设m(x)＝x－aln x＋，由题意知，在[1，e]上存在一点x0，使得m(x0)<0.(8分) xa1＋ax2－ax－（1＋a）（x－1－a）（x＋1）由m′(x)＝1－－2＝＝. xxx2x2 因为x>0，所以x＋1>0，令m′(x)＝0，得x＝1＋a. ① 当1＋a≤1，即a≤0时，m(x)在11，e]上单调递增， 只需m(1)＝2＋a<0，解得a<－2.(10分) 试 卷 精 品 文 档 ② 当1<1＋a≤e，即0 令m(1＋a)＝1＋a－aln(1＋a)＋1<0，即a＋1＋1 a＋1＋1 t＋1 成立．(11分) ③ 当1＋a>e，即a>e－1时，m(x)在11，e]上单调递减， 1＋ae＋1 只需m(e)＝e－a＋<0，解得a>. ee－1 2 ?e＋1，＋∞?.(12分) 综上所述，实数a的取值范围是(－∞，－2)∪?? ?e－1? 请考生在(22)、(23)题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分． (22)(本小题满分10分)选修4－4：坐标系与参数方程 在平面直角坐标系xOy中，以O为极点，x轴的非负半轴为极轴建立的极坐标系中，直 2 ?x＝2cos θπ 线l的极坐标方程为θ＝ (ρ∈R)，曲线C的参数方程为?. 4?y＝sin θ (Ⅰ)写出直线l及曲线C的直角坐标方程； 8 (Ⅱ)过点M平行于直线l的直线与曲线C交于A、B两点，若|MA|·|MB|＝，求点M3轨迹的直角坐标方程． 【解析】(Ⅰ)直线l：y＝x，曲线C的直角坐标方程为＋y＝1，(4分) 22 ?x＝x＋t?2 (Ⅱ)设点M(x，y)，过点M的直线为l：?(t为参数) 2 y＝y＋t??2 0 0 0 1 0 x2 2 3222 由直线l1与曲线C相交可得t＋2(x0＋2y0)t＋x0＋2y0－2＝0， 2 试 卷