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1图态度决定一切、否则你就是无能之
辈
图2 图3 图4
图1中的I为S△ABC的内心， S△=Pr
图2中的I为S△ABC的一个旁心，S△=1/2（b+c-a）ra
附：三角形的五个“心”； 重心：三角形三条中线交点.
外心：三角形三边垂直平分线相交于一点. 内心：三角形三内角的平分线相交于一点. 垂心：三角形三边上的高相交于一点.
旁心：三角形一内角的平分线与另两条内角的外角平分线相交一点.
?已知⊙O是△ABC的内切圆，若BC=a，AC=b，AB=c [注：s为△ABC的半周长,即
a?b?c] 2则：①AE=s?a=1/2（b+c-a） ②BN=s?b=1/2（a+c-b） ③FC=s?c=1/2（a+b-c）
综合上述：由已知得，一个角的邻边的切线长，等于半周长减去对边（如图4）.
a?b?cab特例：已知在Rt△ABC，c为斜边，则内切圆半径r=（如图3）. ?2a?b?c?在△ABC中，有下列等式成立tanA?tanB?tanC?tanAtanBtanC. tanA?tanB证明：因为A?B???C,所以tan?A?B??tan???C?，所以??tanC，?结论！
1?tanAtanBAC2BD?AB2BC?BD?DC. ?在△ABC中，D是BC上任意一点，则AD?BC2证明：在△ABCD中，由余弦定理，有AD2?AB2?BD2?2?AB?BDcosB?①
AB2?BC2?AC2?②，②代入①，化简 在△ABC中，由余弦定理有cosB?2AB?BCAC2BD?AB2BC?BD?DC（斯德瓦定理） 可得，AD?BC2A图5①若AD是BC上的中线，ma?②若AD是∠A的平分线，ta?③若AD是BC上的高，ha??△ABC的判定：
2a12b2?2c2?a2； 2DC2Bbc?p?p?a?，其中p为半周长； b?cp?p?a??p?b??p?c?，其中p为半周长.
c2?a2?b2?△ABC为直角△?∠A + ∠B =?
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c2＜a2?b2?△ABC为钝角△?∠A + ∠B＜c2＞a2?b2?△ABC为锐角△?∠A + ∠B＞
? 2? 2222附：证明：cosC?a?b?c，得在钝角△ABC中，cosC?0?a2?b2?c2?0,?a2?b2?c2
2ab?平行四边形对角线定理：对角线的平方和等于四边的平方和.
a?b2?a?b2?2(a2?b2)
空间向量
1．空间向量的概念：
具有大小和方向的量叫做向量 注：?空间的一个平移就是一个向量 ?向量一般用有向线段表示同向等长的有向线段表示同一或相等的向量 ?空间的两个向量可用同一平面内的两条有向线段来表示 2．空间向量的运算
定义：与平面向量运算一样，空间向量的加法、减法与数乘向量运算如下
??OB?OA?AB?a?b ??BA?OA?OB?a?b
?OP??a(??R)
????运算律：?加法交换律：a?b?b?a
???????加法结合律：(a?b)?c?a?(b?c)
?数乘分配律：?(a?b)??a??b
3 共线向量
表示空间向量的有向线段所在的直线互相平行或重合，则这些向量叫做共线向量或平
????????行向量．a平行于b记作a//b．
??????当我们说向量a、b共线（或a//b）时，表示a、b的有向线段所在的直线可能是
同一直线，也可能是平行直线． 4．共线向量定理及其推论：
??????共线向量定理：空间任意两个向量a、b（b≠0），a//b的充要条件是存在实数λ，
??使a＝λb.
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推论：如果l为经过已知点A且平行于已知非零向量a的直线，那么对于任意一点O，点P在直线l上的充要条件是存在实数t满足等式
?OP?OA?ta．
其中向量a叫做直线l的方向向量. 5．向量与平面平行：
????????已知平面?和向量a，作OA?a，如果直线OA平行于?或在?内，那么我们说向量??a平行于平面?，记作：a//?．
通常我们把平行于同一平面的向量，叫做共面向量 说明：空间任意的两向量都是共面的 6．共面向量定理：
?????如果两个向量a,b不共线，p与向量a,b共面的充要条件是存在实数x,y使
???p?xa?yb ?????????????????????????????MP?xMA?yMB或对空间任一点O，有OP?OM?xMA?yMB ①
①式叫做平面MAB的向量表达式 推论：空间一点P位于平面MAB内的充分必要条件是存在有序实数对x,y，使
7 空间向量基本定理：
????如果三个向量a,b,c不共面，那么对空间任一向量p，存在一个唯一的有序实数组
????x,y,z，使p?xa?yb?zc 推论：设O,A,B,C是不共面的四点，则对空间任一点P，都存在唯一的三个
????????????????有序实数x,y,z，使OP?xOA?yOB?zOC 8 空间向量的夹角及其表示：
?????????????已知两非零向量a,b，在空间任取一点O，作OA?a,OB?b，则?AOB叫做向量a与?????????b的夹角，记作?a,b?；且规定0??a,b???，显然有?a,b???b,a?；若
????????a,b??，则称a与b互相垂直，记作：a?b.
29．向量的模：
???????????设OA?a，则有向线段OA的长度叫做向量a的长度或模，记作：|a|. ??????10．向量的数量积： a?b?|a|?|b|?cos?a,b?．
??????已知向量AB?a和轴l，e是l上与l同方向的单位向量，作点A在l上的射影A?，
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??????????作点B在l上的射影B?，则A?B?叫做向量AB在轴l上或在e上的正射影.
??????????????????可以证明A?B?的长度|A?B?|?|AB|cos?a,e??|a?e|．
11．空间向量数量积的性质：
????????????（1）a?e?|a|cos?a,e?．（2）a?b?a?b?0．（3）|a|2?a?a．
12．空间向量数量积运算律：
（1）(?a)?b??(a?b)?a?(?b)．（2）a?b?b?a（交换律）（3）a?(b?c)?a?b?a?c（分配律）．
空间向量的坐标运算
一．知识回顾：
（1）空间向量的坐标：空间直角坐标系的x轴是横轴（对应为横坐标），y轴是纵轴（对应为纵轴），z轴是竖轴（对应为竖坐标）. ①令a=(a1,a2,a3),b?(b1,b2,b3)，则 a?b?(a1?b1,a2?b2,a3?b3)??????????????????a?(?a1,?a2,?a3)(??R)a?b?a1b1?a2b2?a3b3
a∥b?a1??b1,a2??b2,a3??b3(??R)?a1a2a3?? a?b?a1b1?a2b2?a3b3?0 b1b2b3a?a?a?a12?a22?a32(用到常用的向量模与向量之间的转化：a2?a?a?a?a?a)
??a1b1?a2b2?a3b3??a?b cos?a,b?????222222|a|?|b|a1?a2?a3?b1?b2?b3②空间两点的距离公式：d?(x2?x1)2?(y2?y1)2?(z2?z1)2.
（2）法向量：若向量a所在直线垂直于平面?，则称这个向量垂直于平面?，记作a??，如果a??那么向量a叫做平面?的法向量.
（3）用向量的常用方法：
①利用法向量求点到面的距离定理：如图，设n是平面?的法向量，AB是平面?的一条射线，其中A??，则点B到平面?的距离为|AB?n||n|.
②利用法向量求二面角的平面角定理：设n1,n2分别是二面角??l??中平面?,?的法向量，则n1,n2所成的角就是所求二面角的平面角或其补角大小（n1,n2方向相同，则为补角，n1,n2 第 32 页 共 82 页