发布时间 : 星期六 文章大学物理电子教案之第7章稳恒磁场 - 图文更新完毕开始阅读
（a） 图7-16 （b）
环路内包围电流的代数和为N I。根据安培环路定理，有：
B2π r = μ0 N I ?NI得 B?0 （R1＜ r＜ R2） 2?r可见，螺绕环内任意点处的磁感应强度随到环心的距离而变，即螺绕环内的磁场是不均匀的。
用R表示螺绕环的平均半径，当R?R2?R1时，可近似认为环内任一与环共轴的同心圆的半径r≈R，则上式可变换为
B??0NI=?0nI （R1＜ r＜ R2）
2πR式中，n = N／2π R为环上单位长度所绕的匝数。因此，当螺绕环的平均半径比环的内外半径之差大得多时，管内的磁场可视为均匀的，计算公式与长螺线管相同。
根据同样的分析，在管的外部，也选取与环共轴的圆L（半径为r′）作积分路径，则
??B?dl?B2πr?。因为L所围电流强度代数和为零，由安培环路定理，有：B2π r′ = 0，所
l以 B = 0
即对均匀密绕螺绕环，由于环上的线圈绕得很密，则磁场几乎全部集中于管内，在环的外部空间，磁感强度处处为零。
3.长直载流圆柱体的磁场
在利用毕奥——萨伐尔定律计算无限长载流直导线的磁感强度，得出式(7-7)时，认为载流导线很细，但是当a→0时，该式失效。实际上，导线都有一定的半径，尤其在考察导线内的磁场分布时，就不得不把导体看成圆柱体了。对于稳恒电流，在导线的横截面上，电流I是均匀分布的。
长直圆柱体中的电流分布对称于圆柱的轴线，所以圆柱内、外的磁感强度也应对轴线对称。又因磁感应线总是闭合曲线，于是长直载流圆柱体内、外的磁感应线分布，只能是圆心在轴线上，并与轴线垂直的同轴圆。也就是说：磁场中各点的磁感强度方向与通过该点的同轴圆相切。由于
同一磁感应线上各点到轴线的距离相等，根据轴
图7-17 对称，同一磁感应线上各点磁感强度的大小相等。
现在我们来计算半径为R的长直载流圆柱内、外，距轴线为r的P点的磁感强度。 将长直载流圆柱体分割成许多截面为dS的无限长直线电流，每一直线电流的磁感应强度都分布在垂直于导体的平面内。如图7-17所示，过场点P取垂直于导体的平面，点O是导体轴线与此平面的交点。在此平面内的导体截面上取关于OP对称分布的一对面元dS和
dS′，设dB和dB′ 分别是以dS和dS′为截面的无限长电流dI和dI′在P点产生的磁感应强度。不难看出，它们的合矢量dB + dB′ 应沿以O为圆心、OP = r为半径、位于和导体垂直的平面内的圆L的切线，指向与电流方向成右螺旋关系。选择通过P点的同轴圆L作为积分的闭合路径，则
??B?dl???Bdl?B??ldl?2?rB
ll对导体内部的点P，r＜R，L所围的电流I??I?r2?r2I，由安培环路定理，有：
?R2R222?rB??0r2I
R得 B??0rI （r＜R） 2?R2上式表明，在导体内部，B与r成正比。
对导体外部的点P，r＞R，L所围的电流即圆柱体上的总电流I，由安培环路定理有
2?rB??0I
得 B??0I （r＞R） 2?r该式表明，在导体内部，B与r成反比。即长直载流圆柱体外部磁场B的分布与一无限长载流直导线的磁场的B分布相同。
对圆柱体表面上的点，r = R，从以上两式都能得到：B??0I。 2?R图7-17给出了长直载流圆柱体的磁场B随r变化的曲线。
*7.5 磁场对电流的作用
前面我们讨论了稳恒电流所产生的磁场，这只是电流和磁场之间相互关系中的一个侧面。本节我们简单讨论一下问题的另一个侧面，即磁场对电流的作用。主要内容有：磁场对载流导线作用力的基本规律——安培定律；磁场对载流线圈作用的磁力矩；磁场对运动电荷的作用力——洛仑兹力。
7.5.1 磁场对载流导线的作用力
载流导线放在磁场中时，将受到磁力的作用。安培最早用实验方法，研究了电流和电流之间的磁力的作用，从而总结出载流导线上一小段电流元所受磁力的基本规律，称为安培定律。其内容如下：
放在磁场中某点处的电流元Idl，所受到的磁场作用力dF的大小和该点处的磁感强度B的大小、电流元的大小以及电流元Idl和磁感强度B所成的角θ [或用(Idl，B)表示]的正弦成正比，即dF = kBIdlsinθ dF的方向与矢积Idl × B的方向相同 (图7-18)。
式中的比例系数k的量值取决于式中各量的单位。在国际单位制中，B的单位用特斯拉(T )，I的单位用安培(A)，d l的单位用米(m)，dF的单位用牛顿(N)，则k =1，安培定律的表达式可简化为 dF = BIdlsinθ ，写成矢量表达式，即
dF = Id l × B （7-17） 载流导线在磁场中所受的磁力，通常也叫安培力。式(7-17)表达的规律叫做安培定律。 因为安培定律给出的是载流导线上一个电流元所受的磁力，所以它不能直接用实验进行验证。但是，任何有限长的载流导线L在磁场中所受的磁力F，应等于导线L上各个电流元所受磁力dF的矢量和，即
F?dF???LIdl?B (7-18)
对于一些具体的载流导线，理论计算的结果和实验测量的结果是相符的。这就间接证明了安培定律的正确性。
图7-19
图7-18
式(7-18)是一个矢量积分。如果导线上各个电流元所受的磁力dF的方向都相同，则矢量积分可直接化为标量积分。例如，长为L的一段载流直导线，放在均匀磁场B中，如图7-19所示。根据矢积的右手螺旋法则，可以判断导线上各个电流元所受磁力dF的方向都是垂直纸面向外的。所以整个载流直导线所受的磁力F的大小为
F??dF??IBsinθdl
L其中θ 为电流I的方向与磁场B的方向之间的夹角。F的方向与dF的方向相同，即垂直于纸面向外。
由式(7-18)可以看出，当直导线与磁场平行时(即θ?0或π)，F = 0，即载流导线不受磁力作用；当直导线与磁场垂直时（θ?π)，载流导线所受磁力最大，其值为F = BIL；如果2载流导线上各个电流元所受磁力dF的方向各不相同，式(7-18)的矢量积分不能直接计算。这时应选取适当的坐标系，先将dF沿各坐标分解成分量，然后对各个分量进行标量积分：
Fx??dFx，Fy??dFy ，Fz??dFz，最后再求出合力。
LLL例7-4 如图7-20所示，载流长直导线L1通有电流I1?2.0A，另一载流直导线L2与L1
共面且正交，长为L2?40cm，通电流I2?3.0A。L2的左端与L1相距d＝20 cm，求导线L2所受的磁场力。 ．
解 长直载流导线L1所产生的磁感强度B在L2处的方向虽都是垂直图面向内，但它的大小沿L2逐点不同。要计算L2所受的力，先要在L2上距L1为x处任意取一线段元dx，在电流元I2dx的微小范围内，B可看作恒量，它的大小为 B?μ0I1 2πx显然任一电流元I2dx都与磁感强度B垂直，即θ?π，所以电流元受力的大小
2μIdF?I2Bdxsinπ?01I2dx
22πx根据矢积Idl × B的方向可知，电流元受力的方向垂直L2沿图面向上。由于所有电流元受力方向都相同，所以整根L2所受的力F是各电流元受力大小的和，可用标量积分直接计算
dF??dFLμ0I1Idxd2πx2
μ0I1I2d?L2dx ?2π?dxμIId?L2 ?012ln2πd ??d?L2μd?L2 ?02I1I2ln4πd0.6?1.32?10?6N 0.2导体L2受力的方向和电流元受力方向一样，也是垂直L2沿图面向上。
代入题设数据后得 F?10?7?2?2?2?ln图7-20
7.5.2 磁场对载流线圈的作用力矩
一个刚性载流线圈放在磁场中往往要受力矩的作用，因而发生转动。这种情况在电磁仪表和电动机中经常用到。下面我们利用安培定律讨论均匀磁场对平面载流线圈作用的磁力矩。
如图7-21所示，在磁感应强度为B的均匀磁场中，有一刚性的载流线圈abcd，边长分别为L1和L2，通有电流I。设线圈平面的法线n的方向 (由电流I的方向，按右手螺旋法则定出) 与磁感应强度B的方向所成的夹角为φ。ab和cd两边与B垂直。由图可见，线圈
π?平面与B的夹角θ????φ?。 ?2?根据安培定律，导线bc和da所受磁场的作用力
分别为F1和F2，其大小
F1?IBl1sinθ，F2?IBL1sin?π?θ??IBL1sinθ
F1和F2大小相等，方向相反，又都在过bc和da中点 的同一直线上。所以它们的合力为零，对线圈不产生 力矩。
导线ab和cd所受磁场的作用力分别为F3和F4， 根据安培定律，它们的大小为
F3?F4?IBL2
图7-21
F3和F4大小相等，方向相反，虽然合力为零，但因它们不在同一直线上，而形成一力偶，其力臂为
L1cosθ?L1cosπ?φ?L1sinφ
2因此，均匀磁场作用在矩形线圈上的力矩M的大小为
M?F3L1sinφ?IBL1L2sinφ?IBSsinφ （7-19） 式中，S = L1L2为矩形线圈的面积。M的方向为沿ac中点和bd中点的联线向上。
如果线圈有N匝，则线圈所受力矩为一匝时的N倍，即
??M?NIBSsinφ?PmBsinφ