发布时间 : 星期三 文章大学物理电子教案之第7章稳恒磁场 - 图文更新完毕开始阅读
设有一长为L的载流直导线，放在真空中，导线中电流为I，现计算邻近该直线电流的一点P处的磁感强度B。
如图7-6所示，在直导线上任取一电流元Idl， 根据毕奥—萨伐尔定律，电流元在给定点P所产生 的磁感强度大小为
dB??0Idlsinα
4?r2dB的方向垂直于电流元Idl与矢径r所决定的平面，
指向如图7-6所示(垂直于xoy平面，沿z轴负向)。 由于导线上各个电流元在P点所产生的dB方向相同， 因此P点的总磁感强度等于各电流元所产生dB的代 数和，用积分表示，有
B??dB??
图7-6 计算直线电流的B分布 ?0Idlsin?
LL4?r2进行积分运算时，应首先把dl、r、?等变量，用同一参变量表示。现在取矢径r与P
点到直线电流的垂线PO之间的夹角β 为参变量。取O点为原点，从O到Idl处的距离为l并以a表示PO的长度。从图中可以看出
sinα?cosβ,r?asecβ，l?atgβ 从而 dl?asec2βd?
把以上各关系式代入前式中，并按图中所示，取积分下限β1，上限为β2，得
?2?0I?2?0I?0I B?cos?d??sin???sin?2?sin?1? (7-6) ?14?a??14?a4?a式中β1是从PO转到电流起点与P点连线的夹角；β2是从PO转到电流终点与P点连线的夹角。当β角的旋转方向与电流方向相同时,β取正值；当β角的旋转方向与电流的方向相反时，β取负值。图7-6中的β1和β2均为正值。
如果载流导线是一无限长的直导线，那么可认为?1?? B??,???，所以
222?0I (7-7) 2?a上式是无限长载流直导线的磁感强度，它与毕奥—萨伐尔的早期实验结果是一致的。
2．圆形电流的磁场
设在真空中，有一半径为R的圆形载流导线， 通过的电流为I，计算通过圆心并垂直于圆形导线 所在平面的轴线上任意点P的磁感强度B (图7-7)。
在圆上任取一电流元Idl，它在P点产生的磁 感强度的大小为dB，由毕奥—萨伐尔定律得
dB?μ0Idlsinθ
4πr2π，上式可写成
2图7-7 计算圆电流轴线上的B
由于Idl与r垂直，所以θ?dB??0Idl
4?r2dB的方向垂直于电流元Idl和矢径r所组成的平面，由于圆形导线上各电流元在P点所产生的磁感强度的方向不同，因此把dB分解成两个分量：平行于X轴的分量dB//和垂直于X轴的分量dB?。在圆形导线上，由于同一直径两端的两电流元在P点产生的磁感强度对X轴是对称的，所以它们的垂直分量dB?互相抵消，于是整个圆形电流的所有电流元在P点产生的磁感强度的垂直分量dB?两两相消，所以迭加的结果只有平行于X轴的分量dB//，即
B?B//??dBsin???L?0Idlsin?
L4?r2式中sin??R，对于给定点P、r、I和R都是常量，所以
r B??0IR2?R?0IR2dl? （7-8）
4?r3?02(R2?x2)32B的方向垂直于圆形导线所在平面，并与圆形电流组成右手螺旋关系。
上式中令x = 0，得到圆心处的磁感强度为 B? (7-9)
2R在轴线上，远离圆心即(x?R)处的磁感强度为
?0I?0IS
2x2?x3式中S??R2为圆形导线所包围面积，Pm?ISn，n为面积S法线方向的单位矢量，它
B?3?0IR2?的方向和圆电流垂直轴线上的磁感强度的方向一样，与圆电流成右手螺旋关系，则上式可改写成矢量式
B??0Pm (7-10) 2?x3上式与电偶极子沿轴线上的电场强度公式相似，只是把电场强度E换成磁感强度B，系数
2??0
1
换成
?0，而电矩Pe换成Pm。由此可见Pm应叫做载流圆形线圈的磁矩。式(7-10)可2?推广到一般平面载流线圈。若平面线圈共有N匝，每匝包围面积为S，通有电流为I，线圈平面的法线单位矢量方向的指向与线圈中的电流方向成右旋关系，那么该线圈的磁矩为
Pm?NISn (7-11) 例7-1 真空中，一无限长载流导线，AB、DE部分平直，中间弯曲部分为半径R＝4.00cm的半圆环，各部分均在同一平面内，如图7-8所示。若通以电流I＝20.0A，求半圆环的圆心O处的磁感强度。
解 由磁场迭加原理，O点处的磁感强度B是由AB、BCD和DE三部分电流产生的磁感强度的叠加。
AB部分为“半无限长”直线电流，在O点产生的B1大小为
?0I?sinβ2?sinβ1? 4?R?因 β1??,β2?0
B1?2故
?0I4??10?7?20.0B1???5.00?10?5T ?24?R4??4.00?10B1的方向垂直纸面向里。同理，DE部分在O点产生的B2的大小与方向均与B1相同， 即 B2??0I?5.00?10?5T 4?RBCD部分在O点产生的B3要用积分计算 ：B3?dB
其中dB为半圆环上任一电流元Idl在O点产生的磁感强度，其大小为
?dB=μ0Idlsinθ
4πR2?Idl因 θ?π，故 dB?02
24?RdB的方向垂直纸面向里。半圆环上各电流元在O点产生dB方向都相同，则
B3??dB???R0?0Idl?0I4??10?7?20.0??1.57?10?4T ??224?4.00?104?R4R因B1、B2、B3的方向都相同，所以O点处总的磁感强度B的大小为
B?B1?B2?B3?5.00?10?5?5.00?10?5?1.57?10?4?2.57?10?4T
B的方向垂直纸面向里。
7.3 磁场的高斯定理
7.3.1 磁感线
为了形象化的描述磁场分布情况，我们像在电场中用电场线来描述电场的分布那样，用磁感应线简称B线来表示磁场的分布。为此，我们规定：
1. 磁感应线上任一点的切线方向与该点的磁感应强度B的方向一致；
2. 磁感应线的密度表示B的大小。即通过某点处垂直于B的单位面积上的磁感应线条数等于该点处B的大小。因此，B大的地方，磁感应线就密集；B小的地方，磁感应线就稀疏。
实验上可以利用细铁粉在磁场中的取向来显示磁感应线的分布。图7-9给出了几种不同形状的电流所产生的磁场的磁感应线示意图。
(a)直电流的磁感应线 (b)圆电流的磁感应线 (c)螺线管电流的磁感应线
图7-9 几种不同形状的电流所产生的磁场的磁感应线
从磁感应线的图示，可得到磁感应线的重要性质：(1)任何磁场的磁感应线都是环绕电流的无头无尾的闭合线。这是磁感应线与电场线的根本不同点。它说明任何磁场都是涡旋场。
(2)每条磁感应线都与形成磁场的电流回路互相套合着。磁感应线的回转方向与电流的方向之间关系遵从右手螺旋法则。(3)磁场中每一点都只有一个磁场方向，因此任何两条磁感应线都不会相交。磁感应线的这一特性和电场线是一样的。
7.3.2 磁通量 磁场的高斯定理
通过磁场中任一曲面的磁感应线 (B线)总条数，称为通过该曲面的磁通量，简称B通量，用Φm表示。磁通量是标量，但它可有正、负之分。磁通量Φm的计算方法与电通量Φe 的计算方法类似。如图7-10所示，在磁场中任一给定曲面S上取面积元dS，若dS的法线n的方向与该处磁感应强度B的夹角为θ ，则通过面积元dS的磁通量为
dΦm?B?dS?BcosθdS (7-12) 式中，dS是面积元矢量，其大小等于dS，其方向沿法线n的方向。 通过整个曲面S的磁通量等于通过此面积上所有面积元磁通量的代数和，即
Φm??dΦm??B?dS??BcosθdS (7-13)
SSS在国际单位制中，磁通量的单位是韦伯，符号为Wb，
1Wb?1T?m2
对闭合曲面来说，规定取垂直于曲面向外的指向为法线
于是磁感应线从闭合曲面穿出时的磁通量为正n的正方向。值(θ?π2)，磁感应线穿入闭合曲面时的磁通量为负值
图7-10
（θ?π)。由于磁感应线是无头无尾的闭合线，所以穿入2闭合曲面的磁感应线数必然等于穿出闭合曲面的磁感应线数。因此，通过磁场中任一闭合曲面的总磁通量是恒等于零。这一结论称作磁场中的高斯定理。即
??SB?dS?0 (7-14)
上式与静电场中的高斯定理相对应，但两者有本质上的区别。在静电场中，由于自然界有独立存在的自由电荷，所以通过某一闭合曲面的电通量可以不为零，其中??SD?dS??qi，说明静电场是有源场。在磁场中，因自然界没有单独存在的磁极，所以通过任一闭合面的磁通量必恒等于零，即??B?dS?0，说明磁场是无源场，或者说是涡旋场。
S例7-2 如图7-11所示，磁感应强度为B = 2T
的均匀磁场，方向沿y轴正向。闭合面是一底面为直角三角形的三棱柱面。规定封闭曲面各处的法线方向垂直曲面向外。求通过： （1）befc面的磁通量； （2）aefd面的磁通量； （3）整个闭合面的磁通量
解 （1）通过befc面的磁通量为
Φm??B?dS=?BdScos90o?0
S
图7-11