发布时间 : 星期三 文章大学物理电子教案之第7章稳恒磁场 - 图文更新完毕开始阅读
第7章 稳恒磁场
本章要点：1. 磁场 磁感强度2. 毕奥—萨伐尔定律及其应用3. 磁通量 磁场的高斯定理4. 安培环路定理极其应用
前面我们研究了相对于观察者静止的电荷所激发的电场的性质与作用规律。从本章起我们看到，在运动电荷周围，不仅存在着电场而且还存在着磁场。磁场和电场一样也是物质的一种形态。1820年，丹麦的奥斯特发现了电流的磁效应，当电流通过导线时，引起导线近旁的小磁针偏转，开拓了电磁学研究的新纪元，打开了电应用的新领域。1837年惠斯通、莫尔斯发明了电动机，1876年美国的贝尔发明了电话。??迄今，无论科学技术、工程应用、人类生活都与电磁学有着密切关系。电磁学给人们开辟了一条广阔的认识自然、征服自然的道路。
7.1 磁场 磁感强度
磁现象的发现要比电现象早得多。早在公元前人们知道磁石（Fe3O4)能吸引铁。十一世纪我国发明了指南针。但是，直到十九世纪，发现了电流的磁场和磁场对电流的作用以后，人们才逐渐认识到磁现象和电现象的本质以及它们之间的联系，并扩大了磁现象的应用范围。到二十世纪初，由于科学技术的进步和原子结构理论的建立和发展，人们进一步认识到磁现象起源于运动电荷，磁场也是物质的一种形式，磁力是运动电荷之间除静电力以外的相互作用力。
7.1.1 基本磁现象 磁场
无论是天然磁石或是人工磁铁都有吸引铁、钴、镍等物质的性质，这种性质叫做磁性。条形磁铁及其它任何形状的磁铁都有两个磁性最强的区域，叫做磁极。将一条形磁铁悬挂起来，其中指北的一极是北极(用N表示)，指南的一极是南极(用S表示)。实验指出，极性相同的磁极相互排斥，极性相反的磁极相互吸引。
在相当长的一段时间内，人们一直把磁现象和电现象看成彼此独立无关的两类现象。直到1820年，奥斯特首先发现了电流的磁效应。后来安培发现放在磁铁附近的载流导线或载流线圈，也要受到力的作用而发生运动。进一步的实验还发现，磁铁与磁铁之间，电流与磁铁之间，以及电流与电流之间都有磁相互作用。上述实验现象 导致了人们对“磁性本源”的研究，使人们进一步认识到磁现象起源于电荷的运动，磁现象和电现象之间有着密切的联系。主要表现在：
1. 通过电流的导线(也叫载流导线)附近的磁针，会受到力的作用而偏转(图7-1)。 2. 放在蹄形磁铁两极间的载流导线，也会受力而运动(图7-2)。
3. 载流导线之间也有相互作用力。当两平行载流直导线的电流方向相同时，它们相互吸引；电流方向相反时，则相互排斥(图7-3)。
4. 通过磁极间的运动电荷也受到力的作用。如电子射线管，当阴极和阳极分别接到高压电源的正极和负极上时，电子流通过狭缝形成一束电子射线。如果我们在电子射线管外面放一块磁铁，可以看到电子射线的路径发生弯曲。
由于电流是大量电荷作定向运动形成的，所以，上述一系列事实说明，在运动电荷周围空间存在着磁场；在磁场中的运动电荷要受到磁场力(简称磁力)的作用。
磁场不仅对运动电荷或载流导线有力的作用，它和电场一样，也具有能量。这正是磁场物质性的表现。
7.1.2 磁感应强度
在静电学中，我们利用电场对静止电荷有电场力作用这一表现，引入电场强度E来定量地描述电场的性质。与此类似，我们利用磁场对运动电荷有磁力作用这一表现，引入磁感应强度B来定量地描述磁场的性质。其中B的方向表示磁场的方向，B的大小表示磁场的强弱。
运动电荷在磁场中的受力情况，如图7-4所示。 v∥B F = 0 v⊥B F = Fmax （a） （b） 图7-4 运动的带电粒子在磁场中的受力情况 由大量实验可以得出如下结果：
1．运动电荷在磁场中所受的磁力随电荷的运动方向与磁场方向之间的夹角的改变而变化。当电荷运动方向与磁场方向一致时，它不受磁力作用[图7-4(a)]。而当电荷运动方向与磁场方向垂直时，它所受磁力最大，用Fmax表示[图7-4(b)]。
2．磁力的大小正比于运动电荷的电量，即F∝q。如果电荷是负的，它所受力的方向与正电荷相反。
3．磁力的大小正比于运动电荷的速率，即F∝v。
4．作用在运动电荷上的磁力F的方向总是与电荷的运动方向垂直，即F⊥v。 由上述实验结果可以看出，运动电荷在磁场中受的力有两种特殊情况：当电荷运动方向
与磁场方向一致时，F = 0；当电荷运动方向垂直于磁场方向时，F?Fmax。根据这两种情况，我们可以定义磁感应强度B (简称磁感强度)的方向和大小如下：
在磁场中某点，若正电荷的运动方向与在该点的小磁针N极的指向相同或相反时，它所受的磁力为零，我们把这个小磁针N极的指向方向规定为该点的磁感强度B的方向。 当正电荷的运动方向与磁场方向垂直时，它所受的最大磁力Fmax与电荷的电q和速度v的大小的乘积成正比，但对磁场中某一定点来说，比值Fmaxqv是一定的。对于磁场中不同
位置，这个比值有不同的确定值。我们把这个比值规定为磁场中某点的磁感强度B的大小，即
B=Fmax (7-1) qv磁感强度B的单位，取决于F、q和v的单位，在国际单位制中，F的单位是牛顿(N)，q的单位是库仑(C)，v的单位是米／秒(m?s?1)，则B的单位是特斯拉，简称为特，符号为T。所以
1T?1N?C?1?m?1?s?1N?A?1?m?1。
应当指出，如果磁场中某一区域内各点B的方向一致、大小相等，那么，该区域内的磁场就叫均匀磁场。不符合上述情况的磁场就是非均匀磁场。长直螺线管内中部的磁场是常见的均匀磁场。
地球的磁场只有0.5?10?4T，一般永磁体的磁场约为10?2T。而大型电磁铁能产生2T的磁场，目前已获得的最强磁场是31T。
7.2 毕奥—萨伐尔定律
在静电场中，计算带电体在某点产生的电场强度E时，先把带电体分割成许多电荷元dq，求出每个电荷元在该点产生的电场强度dE，然后根据迭加原理把带电体上所有电荷元在同一点产生的dE迭加(即求定积分)，从而得到带电体在该点产生的电场强度E。与此类似，磁场也满足迭加原理，要计算任意载流导线在某点产生的磁感强度B，可先把载流导线分割成许多电流元Idl(电流元是矢量，它的方向是该电流元的电流方向)，求出每个电流元在该点产生的磁感强度dB，然后把该载流导线的所有电流元在同一点产生的dB迭加，从而得到载流导线在该点产生的磁感强度B。因为不存在孤立的电流元，所以电流元的磁感强度公式不可能直接从实验得到。历史上，毕奥和萨伐尔两人首先用实验方法得到关于载有稳恒电流的长直导线的磁感应强度经验公式(B∝到如下定律：
I)等，再由拉普拉斯通过分析经验公式而得r7.2.1 毕奥—萨伐尔定律
稳恒电流的电流元Idl在真空中某点P所产生的磁感强度dB的大小，与电流元的大小Idl成正比，与电流元Idl和由电流元到P点的矢径r间的夹角θ ［也用（Idl.r)表示 ］的正弦成正比，而与电流元到P点的距离r的平方成反比(图7-5)，即 dB?kIdlsinθ r2式中比例系数k决定于单位制的选择，在国际单位制中，k正好等于10?7N?A?2，
为了使从毕奥—萨伐尔定律导出的一些重要公式中不出现4?因子而令k??7?0?4?k?4??10N?A?2 ，叫做真空中的磁导率。
?0，式中4?
于是上式写成
图7-5 毕奥—萨伐尔定律—电流元所产生的磁感强度
?0Idlsinθ (7-2)
4?r2dB的方向垂直于Idl和r所组成的平面，并沿矢积Idl×r的指向，即由Idl经小于180°角转向r的右手螺进方向。若用矢量式表示，毕奥—萨伐尔定律可写成
?Idl?r0 dB?0 （7-3）
4?r2式中r0为r的单位矢量，毕奥—萨伐尔定律虽然不能由实验直接验证，但由这一定律出发
dB?而得出的一些结果都很好地和实验符合。
7.2.2 毕奥—萨伐尔定律的应用
要确定任意载有稳恒电流的导线在某点的磁感强度，根据磁场满足迭加原理，由式(7-3)对整个载流导线积分，即得
B??dB??L?0Idl?r0 (7-4)
L4?r2值得注意的是，上式中每一电流元在给定点产生的dB方向一般不相同，所以上式是矢量积
分式。由于一般定积分的含意是代数和，所以求式(7-4)的积分时，应先分析各电流元在给定点所产生的dB的方向是否沿同一直线。如果是沿同一直线，则式(7-4)的矢量积分转化为一般积分，即
B??dB??L?0Idlsinθ (7-5)
L4?r2如果各个dB方向不是沿同一直线，应先求dB在各坐标轴上的分量式(例如dBx,dBy,dBz)，对它们积分后，即得B的各分量(例如Bx?矢量(B?Bxi?Byj?Bzk)。
下面应用这种方法讨论几种典型载流导线所产生的磁场。
1．载流直导线的磁场
?L最后再求出BdBx,By??dBy,Bz??dBz?)，
LL