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另一方面，把k与15k配对，（k不是15的倍数，且1≤k≤133）共得133—8=125对，每对数中至多能取1个数为A的元素，这说明所求数≤1870，综上可知应填1870.
9.解：考虑M的n+2元子集P={n－l，n，n+1，…，2n}．P中任何4个不同元素之和不小于(n－1)+n+( n +1)+( n +2)=4 n +2，所以k≥n +3．将M的元配为n对，Bi=(i，2 n +1－i)，1≤i≤n． 对M的任一n+3元子集A，必有三对Bi1,Bi2,Bi3同属于A(i1、I 2、I 3两两不同)．又将M的元配为n－1对，C I (i，2n－i)，1≤i≤n－1．对M的任一n+3元子集A，必有一对Ci4同属于A，这一对Ci4必与Bi1,Bi2,Bi3中至少一个无公共元素，这4个元素互不相同，且和为2 n +1+2 n =4 n +1,最小的正整数k= n +310．
10.解: ⑴∵k,k?1∈Z且2k?1＝k2?(k?1)2,∴2k?1∈A；
⑵假设4k?2?A (k?Z),则存在x,y?Z,使4k?2＝x2?y2即(x?y)(x?y)?2(2k?1) (*) 由于x?y与x?y具有相同的奇偶性，所以（*）式左边有且仅有两种可能：奇数或4的倍数，另一方面，（*）式右边只能被4除余2的数，故（*）式不能成立.由此，
4k?2?A(k?Z).
11.解：A?x?1?x?3，B?x?x?a??x?3a??0．
??????当a?0时，B??x3a?x?a?0?，由A?B??得a??1；
2当a?0时，B?xx?0??，与A?B??不符．
当a?0时，B?x0?a?x?3a，由A?B??得0?a?3；
??综上所述，a???1,0???0,3?．
12．解：由④若x，y∈P,则x＋y∈P可知，若x∈P，则kx?P (k?N) （1）由①可设x，y∈P，且x＞0，y＜0，则－yx＝|y|x (|y|∈N) 故xy,－yx∈P,由④,0＝(－yx)+xy∈P.
（2）2?P.若2∈P，则P中的负数全为偶数，不然的话，当－（2k?1）∈P（k?N）时，－1＝（－2k?1）＋2k∈P，与③矛盾.于是，由②知P中必有正奇数.设
?2m,2n?1?P (m,n?N)，我们取适当正整数q，使 q?|?2m|?2n?1，则负奇数?2qm?(2n?1)?P.前后矛盾
B组
1．证明：设任意的r∈Q，r≠0,由②知r∈S，或－r∈S之一成立.再由①，若∈S，
2则r?S；若－r∈S，则r?(?r)?(?r)?S.总之，r?S.
22r取r=1，则1∈S.再由①，2=1+1∈S，3=1+2∈S，?，可知全体正整数都属于S.
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设p,q?S，由①pq?S，又由前证知
p11，所以∈S.因此，S含有全?S?pq?22qqq体正有理数.再由①知，0及全体负有理数不属于S.即S是由全体正有理数组成的集合. 2．证明：（1）若x?Si,y?Sj，则y?x?Sk,(y?x)?y??x?Si，所以每个集合中均有非负元素.
当三个集合中的元素都为零时，命题显然成立.
否则，设S1,S2,S3中的最小正元素为a，不妨设a?S1，设b为S2,S3中最小的非负元素，不妨设b?S2,则b－a∈S3.
若b＞0,则0≤b－a＜b，与b的取法矛盾.所以b=0.
任取x?S1,因0∈S2,故x－0＝x∈S3.所以S1?S3，同理S3?S1. 所以S1=S3.
（２）可能.例如S1=S2={奇数}，S3={偶数}显然满足条件，S1和S2与S3都无公共元素. 3．解：(A?B)?C=(A?C)?(B?C).A?C与B?C分别为方程组
（Ⅰ）??ax?y?1?x?ay?1 （Ⅱ）?x2?y2?1 22x?y?1??2a1?a2
的解集.由（Ⅰ）解得（x,y）=（0，1）=（，）；由（Ⅱ）解得 22
1?a1?a2a1?a2
（x,y）=（1，0），（，）
1?a21?a2（1）使(A?B)?C恰有两个元素的情况只有两种可能：
?2a?2a?0?1???1?a2?1?a2①? ②? 221?a1?a???1?022???1?a?1?a由①解得a=0；由②解得a=1.
故a=0或1时，(A?B)?C恰有两个元素.
2a1?a2（2）使(A?B)?C恰有三个元素的情况是：=
1?a21?a2
解得a??1?2，故当a??1?2时，(A?B)?C恰有三个元素.
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4．解: (1)设d?minP1?A,P2?BP1P2(即集合A中的点与集合B中的点的距离的最小值),
则称d为A与B的距离.
⑵解法一：∵A中点的集合为圆(x?2)2?(y?2)2?1,圆心为M(?2,?2),令P(x,y)是双曲线上的任一点,则MP?(x?2)2?(y?2)2=x2?y2?4(x?y)?8 =(x?y)2?2xy?4(x?y)+8=(x?y)2?4(x?y)?28 令t?x?y,则MP=t2?4t?28?(t?2)2?24 当t??2时,即?22?xy??10有解，∴MPmin?26∴d?26?1
?x?y??2解法二：如图,P是双曲线上的任一点, Q为圆(x?2)2?(y?2)2?1Q、M三点共上任一点,圆心为M.显然,PQ?MQ≥MP(当P、线时取等号)∴d?MPmin?1.
5．解：记n?18!时，由于1，2，??18都是n的约数，故此时f(n)?19.从而19?M. 若存在n?P，使f(n)?99，则对于小于99的正整数k，均有k|n，从而9|n,11|n，但是(9,11)?1，由整数理论中的性质9×11=99是n的一个约数，这是一个矛盾！从而99?M. 6．证明：假设该校共有m个班级，他们的建议分别组成集合A1,A2,?,Am。这些集合中没有两个相同（因为没有两个班级提出全部相同的建议），而任何两个集合都有相同的元素，因此任何一个集合都不是另外一个集合的补集。这样在A1,A2,?,Am中至多有A（所有P条建议所组成的集合）的
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1?2P?2P?1个子集，所以m?2P?1. 2 第二章 函数
§2.1 函数及其性质
一、函数的基本性质：
1. 函数图像的对称性
（1） 奇函数与偶函数：奇函数图像关于坐标原点对称，对于任意x?D，都有f(?x)??f(x)成立；
偶函数的图像关于y轴对称，对于任意x?D，都有f(?x)?f(x)成立。
（2） 原函数与其反函数：原函数与其反函数的图像关于直线y?x对称。 若某一函数与其反函数表
示同一函数时，那么此函数的图像就关于直线y?x对称。
（3） 若函数满足f(x)?f(2a?x)，则f(x)的图像就关于直线x?a对称；若函数满足
f(x)??f(2a?x)，则f(x)的图像就关于点(a,0)对称。
（4） 互对称知识：函数y?f(x?a)与y?f(a?x)的图像关于直线x?a对称。 2．函数的单调性
函数的单调性是针对其定义域的某个子区间而言的。判断一个函数的单调性一般采用定义法、导
数法或借助其他函数结合单调性的性质（如复合函数的单调性）
特别提示：函数y?x?3．函数的周期性
对于函数y?f(x)，若存在一个非零常数T，使得当x为定义域中的每一个值时，都有
a(a?0)的图像和单调区间。 xf(x?T)?f(x)成立，则称y?f(x)是周期函数，T称为该函数的一个周期。若在所有的周期中
存在一个最小的正数，就称其为最小正周期。
（1） 若T是y?f(x)的周期，那么nT(n?Z)也是它的周期。
T的周期函数。 a（3） 若函数y?f(x)的图像关于直线x?a和x?b对称，则y?f(x)是周期为2(a?b)的函数。
（2） 若y?f(x)是周期为T的函数，则y?f(ax?b)(a?0)是周期为
（4） 若函数y?f(x)满足f(x?a)??f(x)(a?0)，则y?f(x)是周期为2a的函数。 4.函数的最值：
常规求法：配方法、判别式法、不等式法、换元法、构造法 5．Gauss(高斯)函数
对于任意实数x，我们记不超过x的最大整数为[x]，通常称函数y?[x]为取整函数。又称高斯函数。又记{x}?x?[x]，则函数y?{x}称为小数部分函数，它表示的是x的小数部分。
高斯函数的常用性质：
（1） 对任意x?R,均有x?1?[x]?x?[x]?1 （2） 对任意x?R，函数y?{x}的值域为[0,1) （3） 高斯函数是一个不减函数，即对于任意x1,x2?R,若x1?x2,则[x1]?[x2]
（4） 若n?Z,x?R,则有[x?n]?n?[x],{n?x}?{x}，后一个式子表明y?{x}是周期为1的函数。
*（5） 若x,y?R,则[x]?[y]?[x?y]?[x]?[y]?1 （6） 若n?N,x?R,则[nx]?n[x]
二、应用举例：
例1．已知f(x)是一次函数，且f10(x)?1024x?1023．求f(x)的解析式．
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