发布时间 : 星期二 文章2018-2019学年广东省中山市九年级（上）期末数学试卷更新完毕开始阅读
【考点】G8：反比例函数与一次函数的交点问题．
【专题】533：一次函数及其应用；534：反比例函数及其应用． 【分析】（1）利用待定系数法即可解决问题；
（2）设M（m，0），因为△MAB的面积为12，直线AB交x轴于（﹣1，0），可得|m+1|×6＝12，解方程即可．
【解答】解：（1）∵一次函数y＝﹣2x+b的图象经过B（﹣2，2）， ∴2＝4+b， ∴b＝﹣2，
∴一次函数：y＝﹣2x﹣2， 把A（1，n）代入n＝﹣4， ∴A（1，﹣4）
把A（1，﹣4）代入反比例函数解析式得，k＝﹣4； （2）设M（m，0），
∵△MAB的面积为12，直线AB交x轴于（﹣1，0）， ∴|m+1|×6＝12，
解得m＝3或﹣5（不合题意舍去）， ∴M（3，0）．
【点评】本题考查反比例函数与一次函数的交点问题，三角形的面积等知识，解题的关键是熟练掌握待定系数法解决问题，学会构建方程解决问题，属于中考常考题型． 24．（9分）已知，四边形ABCD中，E是对角线AC上一点，DE＝EC，以AE为直径的⊙O与边CD相切于点D，点B在⊙O上，连接OB． （1）求证：DE＝OE；
（2）若CD∥AB，求证：BC是⊙O的切线；
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（3）在（2）的条件下，求证：四边形ABCD是菱形．
【考点】MR：圆的综合题．
【专题】152：几何综合题．
【分析】（1）先判断出∠2+∠3＝90°，再判断出∠1＝∠2即可得出结论；
（2）根据等腰三角形的性质得到∠3＝∠COD＝∠DEO＝60°，根据平行线的性质得到∠4＝∠1，根据全等三角形的性质得到∠CBO＝∠CDO＝90°，于是得到结论； （3）先判断出△ABO≌△CDE得出AB＝CD，即可判断出四边形ABCD是平行四边形，最后判断出CD＝AD即可． 【解答】解：（1）如图，连接OD， ∵CD是⊙O的切线， ∴OD⊥CD，
∴∠2+∠3＝∠1+∠COD＝90°， ∵DE＝EC， ∴∠1＝∠2， ∴∠3＝∠COD， ∴DE＝OE；
（2）∵OD＝OE， ∴OD＝DE＝OE，
∴∠3＝∠COD＝∠DEO＝60°， ∴∠2＝∠1＝30°， ∵AB∥CD， ∴∠4＝∠1，
∴∠1＝∠2＝∠4＝∠OBA＝30°， ∴∠BOC＝∠DOC＝60°，
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在△CDO与△CBO中，∴△CDO≌△CBO（SAS）， ∴∠CBO＝∠CDO＝90°， ∴OB⊥BC， ∴BC是⊙O的切线；
（3）∵OA＝OB＝OE，OE＝DE＝EC， ∴OA＝OB＝DE＝EC， ∵AB∥CD， ∴∠4＝∠1，
∴∠1＝∠2＝∠4＝∠OBA＝30°， ∴△ABO≌△CDE（AAS）， ∴AB＝CD，
∴四边形ABCD是平行四边形， ∴∠DAE＝∠DOE＝30°， ∴∠1＝∠DAE， ∴CD＝AD， ∴?ABCD是菱形．
，
【点评】此题主要考查了切线的性质，同角的余角相等，等腰三角形的性质，平行四边形的判定和性质，菱形的判定，判断出△ABO≌△CDE是解本题的关键．
25．（9分）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2+bx+3经过A（﹣3，0）、B（1，0）两点，其顶点为D，连接AD，点P是线段AD上一个动点（不与A、D重合）． （1）求抛物线的函数解析式，并写出顶点D的坐标；
（2）如图1，过点P作PE⊥y轴于点E．求△PAE面积S的最大值；
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（3）如图2，抛物线上是否存在一点Q，使得四边形OAPQ为平行四边形？若存在求出Q点坐标，若不存在请说明理由．
【考点】HF：二次函数综合题．
【专题】15：综合题．
【分析】（1）根据抛物线y＝ax2+bx+3经过A（﹣3，0）、B（1，0）两点，可以求得该抛物线的解析式，然后将函数解析式化为顶点式，从而可以得到该抛物线的顶点坐标，即点D的坐标；
（2）根据题意和点A和点D的坐标可以得到直线AD的函数解析式，从而可以设出点P的坐标，然后根据图形可以得到△APE的面积，然后根据二次函数的性质即可得到△PAE面积S的最大值；
（3）根据题意可知存在点Q使得四边形OAPQ为平行四边形，然后根据函数解析式和平行四边形的性质可以求得点Q的坐标．
【解答】解：（1）∵抛物线y＝ax2+bx+3经过A（﹣3，0）、B（1，0）两点， ∴
，得
，
∴抛物线解析式为y＝﹣x2﹣2x+3＝﹣（x+1）2+4， ∴抛物线的顶点坐标为（﹣1，4），
即该抛物线的解析式为y＝﹣x2﹣2x+3，顶点D的坐标为（﹣1，4）； （2）设直线AD的函数解析式为y＝kx+m，
，得
，
∴直线AD的函数解析式为y＝2x+6，
∵点P是线段AD上一个动点（不与A、D重合）， ∴设点P的坐标为（p，2p+6），
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∴S△PAE＝∵﹣3＜p＜﹣1，
＝﹣（p+）2+，
∴当p＝﹣时，S△PAE取得最大值，此时S△PAE＝， 即△PAE面积S的最大值是；
（3）抛物线上存在一点Q，使得四边形OAPQ为平行四边形， ∵四边形OAPQ为平行四边形，点Q在抛物线上， ∴OA＝PQ， ∵点A（﹣3，0）， ∴OA＝3， ∴PQ＝3，
∵直线AD为y＝2x+6，点P在线段AD上，点Q在抛物线y＝﹣x2﹣2x+3上， ∴设点P的坐标为（p，2p+6），点Q（q，﹣q2﹣2q+3）， ∴
，
解得，当q＝﹣2+
或（舍去），
﹣4，
时，﹣q2﹣2q+3＝2
，2
即点Q的坐标为（﹣2+﹣4）．
【点评】本题是一道二次函数综合题，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，求出相应的函数解析式，利用二次函数的性质和数形结合的思想解答．
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