发布时间 : 星期一 文章2017-2018学年高中数学选修2-2教材用书：模块综合检测一 含答案 精品更新完毕开始阅读
OA′AOAA′－OA′
＝＝1－ AA′AA′AA′S△OBCS四边形ABOC＝1－＝，
S△ABCS△ABC所以
AOBOCO
＋＋ AA′BB′CC′
S△OBC＋S△OAC＋S△OAB
＝3－ S△ABCS△ABC
＝3－＝2.
S△ABC
根据体积分割方法，同理可得在四面体ABCD中， AOBOCODO
＋＋＋ AA′BB′CC′DD′
VO-ABD＋VO-ACD＋VO-ABC＋VO-BCD
＝4－ VA-BCDVA-BCD＝4－＝3.
VA-BCD答案：2 3
三、解答题(本大题共4小题，共50分．解答时应写出文字说明、证明过程或运算步骤) 15．(本小题满分12分)已知F(x)＝?x－1t(t－4)dt，x∈(－1，＋∞)．
?
(1)求F(x)的单调区间； (2)求函数F(x)在[1,5]上的最值． 13
t－2t2?x解：F(x)＝?x－1(t2－4t)dt＝??3?－1
?
11
－－2? ＝x3－2x2－??3?317
＝x3－2x2＋(x>－1)． 33(1)F′(x)＝x2－4x，
由F′(x)>0，即x2－4x>0，得－1 172(2)由(1)知F(x)在[1,4]上递减，在[4,5]上递增，∵F(1)＝－2＋＝， 3331725 F(4)＝×43－2×42＋＝－， 33317 F(5)＝×53－2×52＋＝－6， 33 225 ∴F(x)在[1,5]上的最大值为，最小值为－. 33 111 16．(本小题满分12分)在△ABC中，AB⊥AC，AD⊥BC于D，求证：2＝2＋2. ADABAC那么在四面体A-BCD中，类比上述结论，你能得到怎样的猜想，并说明理由． 证明：如图所示，由射影定理AD2＝BD·DC，AB2＝BD·BC，AC2＝BC·DC， ∴ 11 2＝ADBD·DC BC2BC2 ＝＝. BD·BC·DC·BCAB2·AC2又∵BC2＝AB2＋AC2， AB2＋AC2111∴2＝， 22＝2＋ADAB·ACABAC2∴ 111 . 2＝2＋ADABAC2类比题中结论猜想：在四面体A-BCD中，若AB，AC，AD两两垂直，AE⊥平面BCD，1111 则2＝2＋2＋2. AEABACAD 如图， 连接BE并延长交CD于F，连接AF. ∵AB⊥AC，AB⊥AD， ∴AB⊥平面ACD. 而AF?平面ACD， ∴AB⊥AF. 在Rt△ABF中，AE⊥BF， ∴ 111 . 2＝2＋AEABAF2在Rt△ACD中，AF⊥CD， ∴∴ 111， 2＝2＋AFACAD21111 ，故猜想正确． 2＝2＋2＋AEABACAD217．(本小题满分12分)已知函数f(x)＝x3＋ax2－3x(a∈R)． (1)若函数f(x)在区间[1，＋∞)上是增函数，求实数a的取值范围． 1 (2)若x＝是函数f(x)的极值点，是否存在实数b，使得函数g(x)＝bx的图象与函数f(x) 3的图象恰有3个交点？若存在，请求出b的取值范围；若不存在，请说明理由． 解：(1)f′(x)＝3x2＋2ax－3， ∵f(x)在[1，＋∞)上是增函数， ∴在[1，＋∞)上恒有f′(x)≥0， a ∴－≤1，且f′(1)＝2a≥0， 3∴a≥0， 故实数a的取值范围为[0，＋∞)． 1? (2)由题意知f′??3?＝0， 12a 即＋－3＝0， 33∴a＝4， ∴f(x)＝x3＋4x2－3x. 若函数g(x)＝bx的图象与函数f(x)的图象恰有3个交点，即方程x3＋4x2－3x＝bx恰有3个不等实根． ∵x＝0是其中一个根， ∴方程x2＋4x－(3＋b)＝0有两个非零不等实根， ?Δ＝16＋4?3＋b?>0，?∴? ?－?3＋b?≠0，? ∴b>－7，且b≠－3， ∴满足条件的b存在，其取值范围是(－7，－3)∪(－3，＋∞)． 18．(本小题满分14分)已知数列{an}满足a1＝a，an＋1＝(1)求a2，a3，a4； (2)猜想数列{an}的通项公式，并用数学归纳法证明． 解：(1)由an＋1＝a3＝ 1＝2－a21＝2－a3 111可得a2＝＝， 2－an2－a12－a 1. 2－an 2－a＝， 13－2a2－ 2－a1 3－2a1 ＝. 2－a4－3a2－ 3－2a?n－1?－?n－2?a . n－?n－1?a a4＝ (2)推测an＝ 下面用数学归纳法证明： ①当n＝1时，左边＝a1＝a， 右边＝ ?1－1?－?1－2?a ＝a，结论成立． 1－?1－1?a ②假设n＝k(n∈N*)时等式成立， 有ak＝ ?k－1?－?k－2?a ， k－?k－1?a 则当n＝k＋1时， 1 ak＋1＝＝ 2－ak 1 ?k－1?－?k－2?a2－ k－?k－1?a ＝＝ k－?k－1?a 2[k－?k－1?a]－[?k－1?－?k－2?a]k－?k－1?a ， ?k＋1?－ka 故当n＝k＋1时，结论也成立． 由①②可知，对任何n∈N*都有an＝ ?n－1?－?n－2?a . n－?n－1?a