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第一章 波浪理论
1.1 建立简单波浪理论时，一般作了哪些假设?
【答】：（1）流体是均质和不可压缩的，密度ρ为一常数；
（2）流体是无粘性的理想流体；
（3）自由水面的压力均匀且为常数； （4）水流运动是无旋的； （5）海底水平且不透水；
（6）作用于流体上的质量力仅为重力，表面张力和柯氏力可忽略不计； （7）波浪属于平面运动，即在xz水平面内运动。
1.2 试写出波浪运动基本方程和定解条件，并说明其意义。
?2??2??2?022??x?z【答】：波浪运动基本方程是Laplace方程：或写作：??0。该方程属二元
二阶偏微分方程，它有无穷多解。为了求得定解，需有包括初始条件和边界条件的定解条件：
初始条件：因波浪的自由波动是一种有规则的周期性运动，初始条件可不考虑。 边界条件：
（1）在海底表面，水质点垂直速度应为0，即
或写为在z=-h处，
wz??h?0
???0 ?z（2）在波面z=η处，应满足两个边界条件，一是动力边界条件、二是运动边界条件
?? A、动力边界条件
?tz??221??????????????????2????x???z???z???g??0
221?????????? 由于含有对流惯性项???????，所以该边界条件是非线性的。
2????x???z???B、运动边界条件，在z=η处
???????????0 。该边界条件也是非线性的。 ?t?x?x?z （3）波场上下两端面边界条件 ?(x,z,t)??(x?ct,z) 其中c为波速，x-ct表示波浪沿x正向推进。
1.3 试写出微幅波理论的基本方程和定解条件，并说明其意义及求解方法。
2?【答】：微幅波理论的基本方程为：??0
定解条件：z=-h处，
???0 ?z?2???z=0处，2?g?0
?z?t- 1 -
1????z=0处，?????
g??t??(x,z,t)??(x?ct,z)
求解方法：分离变量法 1.4 线性波的势函数为??证明上式也可写成??gHcosh?k?h?z????sin?kx??t?， 2?cosh?kh?Hccosh?k?h?z????sin?kx??t? 2sinh?kh?2?2?, k? TL【证明】： 由弥散方程：?2?gk?tanh?kh?以及波动角频率?和k波数定义: ??可得：??2?2?Tsinh?kh??g?tanh?kh?， 即 ??g??
TLLcosh?kh?L 故：??cosh?kh??g?sinh?kh?c T由波速c的定义：c?将上式代入波势函数： ??gHcosh?k?h?z????sin?kx??t? 2?cosh?kh?得： ??Hccosh?k?h?z????sin?kx??t? 即证。
2sinh?kh?1.5 由线性波势函数证明水质点的轨迹速度u??Hcosh?k?h?z??T?sinh?kh??cos?kx??t?, ?sin?kx??t?
w??Hsinh?k?h?z??T?sinh?kh?并绘出相位?kx??t?=0~2π时的自由表面处的质点轨迹速度变化曲线以及 相位=0,
?2?,和2π时质点的轨迹速度沿水深的分布. 23Hccosh?k?h?z????sin?kx??t? 2sinh?kh?解：(1)证明: 已知势函数方程??则u?L2???Hckcosh?k?h?z?????cos?kx??t? 其中: c?,k?
TL?x2sinh?kh??u??Hcosh?k?h?z??T?sinh?kh??cos?kx??t?.
- 2 -
同理: w???Hcksinh?k?h?z?????sin?kx??t? ?z2sinh?kh???Hsinh?k?h?z??T?sinh?kh??sin?kx??t?
(2) 自由表面时z=0，则u??HTtanh(kh)?cos?kx??t?,w??HT?sin?kx??t?
质点轨迹速度变化曲线见图.1kx-?t
?HTtanh(kh)u w ?HT kx-?t kx-?t 图.1
相位不同时速度由水深变化关系见下，其中水深z由-h到0。 当?kx??t?=0时u??HTsinh(kh)cosh[k(z?h)],w?0曲线见图.2
当?kx??t?=???时u?0,w??HTsinh(kh)sinh[k(z?h)]曲线见图.3
当?kx??t?=??时u???HTsinh(kh)cosh[k(z?h)],w?0曲线见图.4
当?kx??t?=3???时u?0,w???HTsinh(kh)sinh[k(z?h)]曲线见图.5
当?kx??t?=???时u??HTsinh(kh)cosh[k(z?h)],w?0同图.2
u ?HTtanh(kh) w? HT z -h 0 ?H?Tsinh(kh)?z -h 0 ?H ?T 图.2 ?HTsinh(kh)z -h 0 z -h 0 图.3 图.4 ?HTtanh(kh)u 图.5 w
1.6 试根据弥散方程，编制一已知周期函数T和水深h计算波长，波速和波数
的程序，并计算T=9s，h分别为25m和15m处的波长和波速。
解：该程序用c++语言编写如下：
- 3 -
#include \#include
const double pi=3.1415926,g=9.8; void main( ) { double x0,x,L,k,c,h; int i,T;
cout<<\ cin>>T; cout<<\ cin>>h; x0=1.0e-8;
x=(4*pi*pi*h)/(g*T*T*tanh(x0)); for(i=1;(fabs(x-x0)>1.0e-8);i++) { x0=x;
x=(4*pi*pi*h)/(g*T*T*tanh(x0));
} L=2*pi*h/x; k=2*pi/L; c=L/T;
cout<<\
}
运算可得 当T=9s,h=25m时,L=111.941m,c=12.4379m/s
当T=9s,h=15m时,L=95.5096m,c=10.6122m/s
1.7 证明只有水深无限深时，水质点运动轨迹才是圆。
(x?x0)2(z?z0)2??1 【证明】：微幅波波浪水质点运动轨迹方程为：22ab式中a(?Hcosh[k(z0?h)]Hsinh[k(z0?h)])b为垂直短半轴。 )为水平长半轴，b(?2sinh(kh)2sinh(kh)在深水的情况下，即h→无穷大，
11有：sinh[k(z0?h)]?ek(z0?h)?e?k(z0?h)?ek(z0?h)，
2211sinh(kh)??ekh?e?kh??ekh，
22??- 4 -