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大约是R*=0.6%，k*=20% ，所对应投资方案为: 收益 0.2060 风险度 0.0069 x0 x1 x2 0.4581 x3 0.1249 x4 0.1171 0.0000 0.2748 7.3模型3的求解 令x5= max{qixi}则有x5大于或等于{qixi}中的任意一个，可得模型为： Min f={0.05(s-1) 0.25(s-1) 0.15(s-1) 0.55(s-1) 0.26(s-1) s}（x0 x1 x2 x3 x4 x5）‘ ?x0?1.01x1?1.02x2?1.045x3?1.065x4?1?.............0.025x1.................................................?x5?0??................0.015x2....................................?x5?0?..........s.t.? ...............................0.055x3.....................?x5?0?..........?.........................................................0.026x4.....?x5?0???xi?0各个投资者的投资偏好不一，所以s没有一个定值，就从s=0开始，以步长△k=0.001进行循环搜索，编制程序如下： i=1; for s=0.1:0.1:1; f=[-0.05*(1-s) -0.27*(1-s) -0.19*(1-s) -0.185*(1-s) -0.185*(1-s) s]'; A=[0 0.025 0 0 -1;0 0 0.015 0 0 -1; 0 0 0 0.055 0 -1;0 0 0 0 0.026 -1]; b=[0 0 0]'; aeq=[1 1.01 1.02 1.045 1.065 0]; beq=[1]; lb=zeros(6,1); [x,fval,exitflag,options,output]=linprog(f,A,b,aeq,beq,lb); x y(i)=-fval;i=i+1; end k=0.1:0.1:1; figure(1); plot(k,y,'g-');xlabel('s 权因子') ;ylabel('y收益'); title('净收益和风险关于权因子的函数') 计算结果： 使用线性加权法分别求解当s=0.1…1.0时的最优决策及风险和收益如下表： Si
s=0.1..0.7 s=0.8 13
s=0.9 s=1.0
S1 S2 S3 S4 存银行 净收益 风险 0.9901 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.2673 0.0248 0.3690 0.6150 0.0000 0.0000 0.0000 0.2165 0.0092 0.2376 0.3960 0.1080 0.2284 0.0000 0.2014 0.0059 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 1.0000 0.0500 0.0000 结果分析 1 净收益和风险是s(权因子)的单调下降函数，即谨慎程度越强，风险越小，但是收益也越小，具有明确的实际意义。 八、 模型评价 8.1模型优点 （1）本文通过将风险函数转化为不等式约束，建立了线性规划模型，直接采用程序进行计算，得出优化决策方案，并且给出了有效投资曲线，根据投资者的主观偏好，选择投资方向。 （2）模型一采用线性规划模型，将多目标规划转化为单目标规划，选取了风险上限值来决定收益，根据收益风险图，投资者可根据自己的喜好来选择 14
投资方向。 （3）模型三采用线性加权模型求解时，计算过程稳定性好，速度快，对不同的权因子进行比较，得出最优决策方案，并且给出了有效投资曲线，根据投资者的主观偏好，选择投资方向。 8.2模型缺点 当投资金额小于固定值时，建立的线性规划模型得到的结果可能不是最优解，要根据公司的资金M决策模型的优良。对于不同的金额，得到的结果不具有代表性，我们建立的模型中采用的只是M的一个特列，具有单一性 [参考文献] [1]赵静，但琦．数学建模与数学实验［M］．北京:高等教育出版社，2008． [2]李志林 欧宜贵 数学建模及典型案例分析 北京，化学工业出版社 2006 九、模型的评价 本模型的建立，是为了解决现实生活中的投资问题。公司以盈利为目的，希望将一定的资金用来投资，来得到较高的回报。这就涉及到投资项目的选择问题。 一方面，投资的利润越高越好，一方面，又希望投资的风险不能太大，来保证投资的成果。然而由于市场的成熟和完善，实际的投资项目往往并不是利润又高，而风险又小的，高收益往往伴随着高风险，若要追求低风险，那么投资的回报必不会很高。为了表示这种风险与收益之间的矛盾关系，我们在建立数学模型时，引入了多目标规划，通过两个目标函数，客观的反映了现实中的需求情况。同时，在实际投资过程中，往往并不仅仅是投资与 15
风险那么简单，其中还涉及到费用的问题，而费用往往有一个最低限的问题，在模型中，我们用一个分段函数来表征这一现象。总的来说，最开始的模 型的建立是比较符合投资的实际的。然而它比较复杂，由于费用的非线性，就不能用一般解多目标规划的方法，这给求解带来很大的困难。为了能使模型求解，我们经数据分析发现，如果将费用的非线性关系转换为简单的线性关系，简化后的模型几乎与原模型保持一致，这样问题的中心就转化为对线性模型的求解。该模型是一个线性的多目标规划问题，对这类问题的求解必然牵涉到对风险与收益的评价问题，也即是风险与收益孰轻孰重的问题。然而对于实际的投资，不同人对这个问题的看法往往不同，甚至大相径庭。例如有的人会为利润铤而走险，而有些人则不愿冒险，宁愿把所有钱存入银行中去。 针对这个问题，如果能找出风险与收益之间具体的关系，得到其非劣解的分布，那么无疑方便我们作出投资决策。这样，我们对风险的最大值给出一组限定值，作为条件，而将收益作为目标函数，得到标准的线性规划，用计算机求解，画图，从而得到风险与收益的直观图像。最后我们根据一般的经验，取利润增长最快，同时利润最大的点作为给出的投资方案。整个模型基本符合实际的投资情况，能较全面的反映投资中各各因素的关系，同时该模型又可解，可以得到一个比较好的投资方案，这样也就比较全面，完 善的解决了题目中所要求的投资问题。 参考文献： [1]徐辉,张延飞.管理运筹学[M].上海：同济大学出版社.2011年5月 [2] 卢厚清, 袁永生. 下料问题数学模型研究[J ]. 运筹与管理, 1996, 5 (4) : 61 66.
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