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函数的值域和最值
知识归纳 一、相关概念
1、值域：函数y?f(x)，x?A，我们把函数值的集合{f(x)/x?A}称为函数的值域。 2、最值：一般地，设函数y=f(x)的定义域为I，如果存在实数M满足：①对于任意的x∈I，都有f(x)≤M；②存在x0∈I，使得f(x0) = M。那么，称M是函数y=f(x)的最大值。记作ymax?f?x0?
最小值：一般地，设函数y=f(x)的定义域为I，如果存在实数M满足：①对于任意的x∈I，都有f(x)≥M；②存在x0∈I，使得f(x0) = M。那么，称M是函数y=f(x)的最小值。记作ymin?f?x0?
注意：
①函数最大（小）首先应该是某一个函数值，即存在x0∈I，使得f(x0) = M；
② 函数最大（小）应该是所有函数值中最大（小）的，即对于任意的x∈I，都有f(x)≤M（f(x)≥M）。
求函数最值常用方法和函数值域的方法基本相同。若函数的最大、最小值求出来了，值域也就知道了，反之，若求出的函数的值域为非开区间，函数的最大或最小值也等于求出来了，因此，求函数的最值和值域，其实质是相同的，只是提问不同而已。 二、 确定函数值域的原则
1、当函数y?f(x)用表格给出时，函数的值域指表格中实数y的集合；
x y?f(x) 0 1 1 2 2 3 3 4 则值域为{1，2，3，4}
2、函数y?f(x)的图像给出时，函数的值域是指图像在y轴上的投影所覆盖的实数y的集合；
3、函数y?f(x)用解析式给出时，函数的值域由函数的定义域及其对应法则唯一确定； 4、由实际问题给出时，函数的值域由问题的实际意义决定。
三、基本函数的值域
1、一次函数y?kx?b（a?0）的定义域为R，值域为R； 2、二次函数y?ax2?bx?c（a?0）的定义域为R，
a?0时，值域是[4ac?b4a?x2，??);a?0时，值域是(??，4ac?b4a2]
3、反比例函数ykx(k?0)的定义域为{x|x?0}，的值域为?y|y?0,且y?R?
4、指数函数y?a(a?0且a?1)的值域为(0,??)。 5、对数函数y?logax(a?0且a?1)的值域为R； 6、分式函数y?ax?bx?c的值域为?y|y?a,且y?R?。
?cosx?7、正弦函数y?sinx,余弦函数y8、正切函数y?tanx(其中x?k??的值域都是[?1,1]。
R。
2,k?Z), y?cot x (x?k?,k?Z)的值域为
四、求函数值域的方法
函数的值域是由其对应法则和定义域共同决定的其类型依解析式的特点分可分三类：(1)求常见函数值域；(2)求由常见函数复合而成的函数的值域；(3)求由常见函数作某些“运算”而得函数的值域
求函数值域的常用方法： 观察法、直接法、配方法、分离变量法、单调性法、导数法 数形结合法（图像法）导数法 数形结合法、判别式法、部分分式、均值不等式、换元法、不等式法等 无论用什么方法求函数的值域，都必须考虑函数的定义域无论用什么方法求最值，都要检查“等号”是否成立，不等式法及判别式法尤其如此。
常用方法：
2（1）观察法(用非负数的性质，如：x?0；x?0；x?0(x?0)等)
例如：求下列函数的值域：y??3x?2;{y|y?2} 变式：y?4?2x?1(x??1),{y|y?4}
（2）直接法：利用常见函数的值域来求，
例如 ：下列函数中值域是（0，+ ?）的是 （ ）
2
1A．y?x2 B. y?()511?x C. y?1?x2 D. y?x?1x(x?0)
解析：通过基本函数的值域可知：A的值域为[0, + ?）,C的值域为[0,1],D的值域为 [2, + ?). 答案：B
（3）配方法：常可转化为二次函数型F(x)?af(x)?bf(x)?c2，配成完全平方式，根据变
量的取值范围，然后利用二次函数的特征来求最值；
例：求值域：y?x?x?1,x?R；x?[?1,3];x?(1,5];x?[?5,?1]; 解析：通过配方可得 y?(x?当x???1,3?时，在x?故其值域为[
341212)?2234；开口向上，所以当x?3412时，函数取最小值y?34；
时，函数的最小值为y?；最大值在x=3时取到，f(3)?13；
,13];
练习： x?(1,5];x?[?5,?1]; 例：求函数y?2??x?4x(x??0,4?)的值域。
2解：本题中含有二次函数可利用配方法求解,为便于计算不妨
设:f(x)??x?4x(f(x)?0)配方得:f(x)??(x?2)?4(x??0,4?)利用二次函数的
22相关知识得f(x)??0,4?,从而得出：y???2,2?。
说明：在求解值域(最值)时,遇到分式.根式.对数式等类型时要注意函数本身定义域的限制,本题为：f(x)?0。 变式1：求函数y=
52x?4x?32的值域.（答：（0,5]）
2变式2：当x?(0,2]时，函数f(x)?ax?4(a?1)x?3在x?2时取得最大值，则a的
取值范围是___（答：a??212）；
变式3： （1）求y?x?2ax?3,x?[2,4]最值。（-----动轴定区间） （2）求y?x?2x?3,x?[t,t?2]的最值（----------定轴动区间）
2
变式4：已知sinx＋siny＝_________。答案：[,213，则函数μ＝sinx－cosy的最大值为________；最小值为
2
411912]。 23?(siny?12)?2解析：u?siny?siny?1112,siny?[?23,1]
（4）换元法（代数换元法）通过变量代换达到化繁为简、化难为易的目的，三角代换可将代数函数的最值问题转化为三角函数的最值问题，化归思想； 例、求函数y?2x?3?13?4x的值域。
解：由于题中含有13?4x不便于计算，但如果令：t?13?t4213?4x注意t?0从而得：
x??y?13?t22?3?t(t?0)变形得2y??(t?1)?8(t?0)即：y?(??,4]
2点评：在使用换元法换元时一定要注意新变量的范围，否则将会发生错误。 变式1：求函数y?2x?41?x的值域. ???,4? 解
析
：
2令t?1?x
2（t?0），则x?1?t2，故
y?2(1?t)?4t,经整理得y??2t?4t?2；用配方法求的y的值域为???,4?。
变式2：y?2sinx?3cosx?1的值域为_____（答：[?4,变式3： y?x?4?2178]）；
2； 9?x的值域为____（答：[1,32?4]）
变式4：函数y?x?1?x2的值域为____（答： [?2，1]）(提示：三角代换) 变式5：求函数y12?log214x?log14x2?5(2?x?4)的值域（答：[
254,8]）(提示：令t=log1x，
4t?[?1,?])。
2222变式6：已知p(x,y)是圆x?y?4上的点，试求t?x?y?3xy的值域。 解：在三角函数章节中我们学过：sin2??cos2??1注意到x?y?4可变形为：
x2y2xy()?()?1令?cos?,?sin?,??[0,2?)则222222t?4?3?2cos??2sin??4?6sin2?又2??[0,4?)即sin2??[?1,1]故