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保险精算（第二版）
第一章：利息的基本概念
练 习 题
1．已知a?t??at?b，如果在0时投资100元，能在时刻5积累到180元，试确定在时刻5投资300元，在时刻8的积累值。
a(0)?b?1a(5)?25a?b?1.8?a???0.825,b?1a(5)?300a(8)?300*100180(64a?b)?5082
300*100180180300*1002．(1)假设A(t)=100+10t, 试确定i1,i3,i5。
i1?A(1)?A(0)A(0)?0.1,i3?A(3)?A(2)A(2)?0.0833,i5?A(5)?A(4)A(4)?0.0714
(2)假设A?n??100??1.1?，试确定 i1,i3,i5 。
i1?A(1)?A(0)A(0)?0.1,i3?A(3)?A(2)A(2)?0.1,i5?A(5)?A(4)A(4)?0.1
n3．已知投资500元，3年后得到120元的利息，试分别确定以相同的单利利率、复利利率投资800元在5年后的积累值。
500a(3)?500(1?3i1)?620?i1?0.08?800a(5)?800(1?5i1)?1120500a(3)?500(1?i2)?620?i1?0.0743363?800a(5)?800(1?i3)?1144.9753
4．已知某笔投资在3年后的积累值为1000元，第1年的利率为 i1?10%，第2年的利率为i2?8%，第3年的利率为 i3?6%，求该笔投资的原始金额。
A(3)?1000?A(0)(1?i1)(1?i2)(1?i3)?A(0)?794.1
5．确定10000元在第3年年末的积累值:
1
(1)名义利率为每季度计息一次的年名义利率6%。 (2)名义贴现率为每4年计息一次的年名义贴现率6%。
10000a(3)?10000(1?i(4)4)12?11956.1831?4 ?()4??i10000a(3)?10000?1???11750.081???4?6．设m＞1，按从大到小的次序排列d?d(m)???i(m)?i。
7．如果?t?0.01t，求10 000元在第12年年末的积累值。、
10000a(12)?10000e?012?tdt?10000e0.72?20544.33
8．已知第1年的实际利率为10%，第2年的实际贴现率为8%，第3年的每季度计息的年名义利率为6%，
第4年的每半年计息的年名义贴现率为5%，求一常数实际利率，使它等价于这4年的投资利率。
(1?i)?(1?i1)(1?d2)(1?4?1i(4)4)(1?4i(2)2)2 ?1.1*1.086956522*1.061363551*1.050625?1.333265858 ?i?0.745563369．基金A以每月计息一次的年名义利率12%积累，基金B以利息强度?t?基金存入的款项相同，试确定两基金金额相等的下一时刻。
a1(t)??1.01?a2(t)?e?0tt6积累，在时刻t (t=0)，两笔
12t?tdtt2?e12t2
??1.01?12t?e12,t?1.43284764310. 基金X中的投资以利息强度?t?0.01t?0.1(0≤t≤20), 基金Y中的投资以年实际利率i积累；现分别投资1元，则基金X和基金Y在第20年年末的积累值相等，求第3年年末基金Y的积累值。
a1(t)??1?i?a2(t)?e??1?i??0tt?tdt0.01t2?e222?0.1t0.01*2020
?0.1*20?e?e4?1?i?3?1.822111. 某人1999年初借款3万元，按每年计息3次的年名义利率6%投资，到2004年末的积累值为（ ）万元。
A. 7.19 B. 4.04 C. 3.31 D. 5.21
3(1?
i(3)3)3*5?3*1.0215?4.0376
2
12.甲向银行借款1万元，每年计息两次的名义利率为6%，甲第2年末还款4000元，则此次还款后所余本金部分为（ ）元。
A.7 225 B.7 213 C.7 136 D.6 987
(1?i(2)2)2*2?1.03?1.1255
4第二章：年金
练习题
1．证明v?vnm?i?am?an?。
ni?am?an??i(1?vim?1?vi)?v?v
nm2．某人购买一处住宅，价值16万元，首期付款额为A，余下的部分自下月起每月月初付1000元，共付10年。年计息12次的年名义利率为8.7% 。计算购房首期付款额A。
1000a120?10001?vi120?79962.96(i?8.7%/12)
?160000?79962.96?80037.043. 已知a7?5.153 , a11?7.036, a18?9.180, 计算 i。
?1????a11 ?1?i?7a18?a7?i?0.082994．某人从50岁时起，每年年初在银行存入5000元，共存10年，自60岁起，每年年初从银行提出一笔款作为生活费用，拟提取10年。年利率为10%，计算其每年生活费用。
??5000a10?1??x???1?i?10??a10
?x?12968.71235．年金A的给付情况是：1～10年，每年年末给付1000元；11～20年，每年年末给付2000元；21～30
年，每年年末给付1000元。年金B在1～10年，每年给付额为K元；11～20年给付额为0；21～30年，每年年末给付K元，若A与B的现值相等，已知vA?1000a10?1?2000??1???i?2010?12，计算K。
20??i?10a10?1?1000??1???i?a10B?Ka10A?B?1?K??1?a10
?K?1800 6． 化简a10?1?va10?1?v
1010?v2020? ，并解释该式意义。
30?v??a
3
7. 某人计划在第5年年末从银行取出17 000元，这5年中他每半年末在银行存入一笔款项，前5次存款每次为1000元，后5次存款每次为2000元，计算每年计息2次的年名义利率。
?1??1?1000a5?2000?a?17000?5???1?i??1?i??i?3.355Q0
8. 某期初付年金每次付款额为1元，共付20次，第k年的实际利率为
11?i19111(1?i1)(1?i2)9281(1?i1)?(1?i19)18?k，计算V(2)。
V(2)?1?910????
?1???? 9. 某人寿保险的死亡给付受益人为三个子女，给付形式为永续年金，前两个孩子第1到n年每年末平分
所领取的年金，n年后所有的年金只支付给第三个孩子，若三个孩子所领取的年金现值相等,那么v=( )
1?1?n?1?n A. ?? B. 3n C. ?? D.3
?3??3?1n12an?va?nn1?viv?n?2v13n1i
11. 延期5年连续变化的年金共付款6年，在时刻t时的年付款率为?t?1?,t时刻的利息强度为1/(1+t),该年金的现值为（ ）
A.52 B.54 C.56 D.58
a?5|6v(t)?2?115v(t)(t?1)dt?e11521a(t)1?0t?1t?12
?tdt?a?5|6?1t?1(t?1)dt?54
第三章：生命表基础
练习题
1．给出生存函数s?x??e?x22500，求：
(1)人在50岁～60岁之间死亡的概率。 (2)50岁的人在60岁以前死亡的概率。 (3)人能活到70岁的概率。
(4)50岁的人能活到70岁的概率。
4