发布时间 : 星期二 文章考研数学三真题及解析更新完毕开始阅读
线性无关，则必然有?2?0(,否则，?1与A(?1??2)=?1?1线性相关)，故应选(B).
方法二： 由于 [?1,A(?1??2)]?[?1,?1?1??2?2]?[?1,?2]??1?1??， 0?2??1?1可见?1，A(?1??2)线性无关的充要条件是??2?0.故应选(D).
0?2（14） 设一批零件的长度服从正态分布N(?,?2)，其中?,?2均未知. 现从中随机抽取16个零件，测得样本均值x?20(cm)，样本标准差s?1(cm)，则?的置信度为0.90的置信区间是
1111t0.05(16),20?t0.05(16)). (B) (20?t0.1(16),20?t0.1(16)). 44441111(C)(20?t0.05(15),20?t0.05(15)).(D)(20?t0.1(15),20?t0.1(15)). [ C ]
4444x??【分析】 总体方差未知，求期望的区间估计，用统计量：~t(n?1).
sn(A) (20?【详解】 由正态总体抽样分布的性质知，
x??~t(n?1)， 故?的置信度为0.90的置信区间是sn(x?1nt?(n?1),x?2111t?(n?1))，即(20?t0.05(15),20?t0.05(15)).故应选(C).
44n2三 、解答题（本题共9小题，满分94分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）
（15）（本题满分8分）
1?x1?).
x?01?e?xx 【分析】 \???\型未定式，一般先通分，再用罗必塔法则.
求lim(1?x1x?x2?1?e?x【详解】 lim( ?)?lim?xx?01?e?xx?0xx(1?e)x?x2?1?e?x =lim 2x?0x1?2x?e?x =lim
x?02x2?e?x3?. =limx?022（16）（本题满分8分）
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设f(u)具有二阶连续导数，且g(x,y)?f(yx2?22?g2gx)?yf(y)，求x?x2?y?y2. 【分析】 先求出二阶偏导数，再代入相应表达式即可.
【详解】 由已知条件可得
?g?x??yyxx2f?(x)?f?(y)， ?2g2y?x2?x3f?(yy2x)?x4f??(x1y)?yf??(xy)，
?g?y?1xf?(yx)?f(xxxy)?yf?(y)， ?2g?y2?1x2f??(yx)?xy2f?(xy)?xy2f?(xy)?x2y3f??(xy)， 所以 x2?2g22?g?x2?y?y2 2yyy2xxx??(xy)?x2yf??(xy)?y2yx2=f?()?x2fx2f??(x)?yf??(y)
=
2yxf?(yx). （17）（本题满分9分） 计算二重积分
??x2?y2?1d?，其中D?{(x,y)0?x?1,0?y?1}.
D【分析】 被积函数含有绝对值，应当作分区域函数看待，利用积分的可加性分区域积分即可.
【详解】 记D2?y21?{(x,y)x?1,(x,y)?D}，
D2?{(x,y)x2?y2?1,(x,y)?D}，
于是
??x2?y2?1d?=?D??(x2?y2?1)dxdy???(x2?y2?1)dxdy
D1D2?=??2d??12222200(r?1)rdr???(x?y?1)dxdy???(x?y?1)dxdy
DD1=?8+?10dx?1?0(x2?y2?1)dy??20d??10(r2?1)rdr=?4?13.
（18）（本题满分9分） ?求幂级数
?(1?1)x2nn?12n?1在区间(-1,1)内的和函数S(x).
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【分析】幂级数求和函数一般采用逐项求导或逐项积分，转化为几何级数或已知函数的幂级数展开式，从而达到求和的目的.
【详解】 设
S(x)??(n?1??1?1)x2n， 2n?1?12n S1(x)??x，S2(x)??x2n，
n?12n?1n?1则 S(x)?S1(x)?S2(x)，x?(?1,1). 由于
S2(x)??xn?1?2nx2
=， 1?x2
2n (xS1(x))???xn?1?x2?,x?(?1,1), 21?xt211?xdt??x?ln因此 xS1(x)??，
01?t221?xx又由于 S1(0)?0，故
11?xx?1,???1?ln, S1(x)?? 2x1?xx?0.?0,?1?11?x?ln?,x?1,所以 S(x)?S1(x)?S2(x)??2x1?x1?x2
x?0.?0,?（19）（本题满分8分）
设f(x),g(x)在[0，1]上的导数连续，且f(0)=0,f?(x)?0,g?(x)?0.证明：对任何a?[0,1],有
?a0g(x)f?(x)dx??f(x)g?(x)dx?f(a)g(1).
01【分析】 可用参数变易法转化为函数不等式证明，或根据被积函数的形式，通过分部积分讨论.
【详解】 方法一：设
F(x)??x0g(t)f?(t)dt??f(t)g?(t)dt?f(x)g(1)，
01则F(x)在[0，1]上的导数连续，并且
F?(x)?g(x)f?(x)?f?(x)g(1)?f?(x)[g(x)?g(1)]，
由于x?[0,1]时，f?(x)?0,g?(x)?0，因此F?(x)?0，即F(x)在[0，1]上单调递减.
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注意到 F(1)??110g(t)f?(t)dt??0f(t)g?(t)dt?f(1)g(1)，
而
?1f?(t)dt??1g(t)df(t)?g(t)f(t)10g(t)00??10f(t)g?(t)dt
=f(1)g(1)??10f(t)g?(t)dt，
故F(1)=0.
因此x?[0,1]时，F(x)?0，由此可得对任何a?[0,1]，有 ?a10g(x)f?(x)dx??0f(x)g?(x)dx?f(a)g(1).
方法二：
?a0g(x)f?(x)dx?g(x)f(x)aa0??0f(x)g?(x)dx
=f(a)g(a)??a0f(x)g?(x)dx，
?a10g(x)f?(x)dx??0f(x)g?(x)dx
=f(a)g(a)??a10f(x)g?(x)dx??0f(x)g?(x)dx
f(a)g(a)??1af(x)g?(x)dx.
由于x?[0,1]时，g?(x)?0，因此
f(x)g?(x)?f(a)g?(x)，x?[a,1]， ?110f(x)g?(x)dx??0f(a)g?(x)dx?f(a)[g(1)?g(a)]，
从而
?a10g(x)f?(x)dx??0f(x)g?(x)dx
?f(a)g(a)?f(a)[g(1)?g(a)]?f(a)g(1).
（20）（本题满分13分） 已知齐次线性方程组
?x1?2x2?3x （i） ?3?0,?2x1?3x2?5x3?0,
??x1?x2?ax3?0,和
（ii） ??x1?bx2?cx3?0,?2x2(c?1)x 1?bx2?3?0,同解，求a,b, c的值.
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