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2005年考研数学（三）真题解析
一、填空题（本题共6小题，每小题4分，满分24分. 把答案填在题中横线上）
（1）极限limxsinx??2x= 2 . x2?12x2xlimx?2. =22x??x?1x?1【分析】 本题属基本题型，直接用无穷小量的等价代换进行计算即可.
xsin【详解】 limx??（2） 微分方程xy??y?0满足初始条件y(1)?2的特解为 xy?2. 【分析】 直接积分即可.
【详解】 原方程可化为 (xy)??0，积分得 xy?C， 代入初始条件得C=2，故所求特解为 xy=2.
（3）设二元函数z?xex?y?(x?1)ln(1?y)，则dz(1,0)? 2edx?(e?2)dy .
【分析】 基本题型，直接套用相应的公式即可. 【详解】
?z?ex?y?xex?y?ln1(?y), ?x
?zx?1?xex?y?, ?y1?y于是 dz(1,0)?2edx?(e?2)dy.
（4）设行向量组(2,1,1,1)，(2,1,a,a)，(3,2,1,a)，(4,3,2,1)线性相关，且a?1，则a= 【分析】 四个4维向量线性相关，必有其对应行列式为零，由此即可确定a.
【详解】 由题设，有
1 . 22111
21aa11?(a?1)(2a?1)?0, 得a?1,a?，但题设a?1，故a?.
22321a4321（5）从数1,2,3,4中任取一个数，记为X, 再从1,2,?,X中任取一个数，记为Y, 则
P{Y?2}=
13 . 48【分析】 本题涉及到两次随机试验，想到用全概率公式, 且第一次试验的各种两两互不相容的结果即为完备事件组或样本空间的划分.
【详解】 P{Y?2}=P{X?1}P{Y?2X?1}+P{X?2}P{Y?2X?2}
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+P{X?3}P{Y?2X?3}+P{X?4}P{Y?2X?4} =
111113?(0???)?. 423448（6）设二维随机变量(X,Y) 的概率分布为
X Y 0 1 0 0.4 a 1 b 0.1
已知随机事件{X?0}与{X?Y?1}相互独立，则a= 0.4 , b= 0.1 .
【分析】 首先所有概率求和为1，可得a+b=0.5, 其次，利用事件的独立性又可得一等式，由此可确定a,b的取值.
【详解】 由题设，知 a+b=0.5
又事件{X?0}与{X?Y?1}相互独立，于是有
P{X?0,X?Y?1}?P{X?0}P{X?Y?1}， 即 a=(0.4?a)(a?b), 由此可解得 a=0.4, b=0.1
二、选择题（本题共8小题，每小题4分，满分32分. 每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，把所选项前的字母填在题后的括号内）
（7）当a取下列哪个值时，函数f(x)?2x3?9x2?12x?a恰好有两个不同的零点.
(A) 2. (B) 4. (C) 6. (D) 8. [ B ]
【分析】 先求出可能极值点，再利用单调性与极值画出函数对应简单图形进行分析，当恰好有一个极值为零时，函数f(x)恰好有两个不同的零点.
【详解】 f?(x)?6x?18x?12=6(x?1)(x?2)，知可能极值点为x=1,x=2，且
f(1)?5?a,f(2)?4?a，可见当a=4时，函数f(x) 恰好有两个零点，故应选(B). （8）设I1?2222222cosx?yd?,,I?cos(x?y)d?I?cos(x?y)d?,其中23??????D2DDD?{(x,y)x2?y2?1}，则
(A) I3?I2?I1. （B）I1?I2?I3.
(C) I2?I1?I3. (D) I3?I1?I2. [ A ]
222222222【分析】 关键在于比较x?y、x?y与(x?y)在区域D?{(x,y)x?y?1}上的大小. 2222【详解】 在区域D?{(x,y)x?y?1}上，有0?x?y?1，从而有
?2?1?x2?y2?x2?y2?(x2?y2)2?0
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由于cosx在(0,2?2) 上为单调减函数，于是
2 0?cosx?y因此
?cosx(2?y2)?cosx(2?y2)2
22cos(x?y)d????D???cosDx2?y2d??222cos(x?y)d?，故应选(A). ??D（9）设an?0,n?1,2,?,若
?n?1发散，a(?1)an收敛，则下列结论正确的是 ?n?n?1?n?1 (A)
?an?1?2n?1收敛，
?a
n?1
?
2n
发散 . （B）
?a
n?1
?
2n
收敛，
?an?1?2n?1发散.
(C)
?(an?12n?1?a2n)收敛. (D)
?(an?1?2n?1?a2n)收敛. [ D ]
【分析】 可通过反例用排除法找到正确答案.
??1n?1【详解】 取an?，则?an发散，?(?1)an收敛，
nn?1n?1但
?an?1?2n?1与
?a
n?1
?
2n
均发散，排除(A),(B)选项，且
?(an?1?2n?1?a2n)发散，进一步排除(C), 故应选(D).
事实上，级数
?(an?1?2n?1?a2n)的部分和数列极限存在.
（10）设f(x)?xsinx?cosx,下列命题中正确的是
(B) f(0)是极大值，f()是极小值. （B） f(0)是极小值，f()是极大值.
??22（C） f(0)是极大值，f()也是极大值. (D) f(0)是极小值，f()也是极小值.
??22[ B ]
【分析】 先求出f?(x),f??(x)，再用取极值的充分条件判断即可.
【详解】 f?(x)?sinx?xcosx?sinx?xcosx，显然 f?(0)?0,f?()?0，
?2x?xsinx，且f??(0)?1?0,f??()??又 f??(x)?cos2应选(B).
（11）以下四个命题中，正确的是
???0，故f(0)是极小值，f()是极大值，
22?(A) 若f?(x)在（0，1）内连续，则f(x)在（0，1）内有界. （B）若f(x)在（0，1）内连续，则f(x)在（0，1）内有界.
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（C）若f?(x)在（0，1）内有界，则f(x)在（0，1）内有界.
(D) 若f(x)在（0，1）内有界，则f?(x)在（0，1）内有界. [ C ] 【分析】 通过反例用排除法找到正确答案即可. 【详解】 设f(x)=(B); 又f(x)?11, 则f(x)及f?(x)??2均在（0，1）内连续，但f(x)在（0，1）内无界，排除(A)、xxx在（0，1）内有界，但f?(x)?*T*12x在（0，1）内无界，排除(D). 故应选(C).
TA为A的转置矩阵. 若a11,a12,a13（12）设矩阵A=(aij)3?3 满足A?A，其中A是A的伴随矩阵，
为三个相等的正数，则a11为
(A)
13. (B) 3. (C) . (D)
333. [ A ]
【分析】 题设与A的伴随矩阵有关，一般联想到用行列展开定理和相应公式：
AA*?A*A?AE..
**【详解】 由A?A及AA?AA?AE，有aij?Aij,i,j?1,2,3，其中Aij为aij的代数余子式，
*T且AA?AE?AT2?A?A?0或A?1
32 而A?a11A11?a12A12?a13A13?3a11?0，于是A?1，且a11?3. 故正确选项为(A). 3（13）设?1,?2是矩阵A的两个不同的特征值，对应的特征向量分别为?1,?2，则?1，A(?1??2)线性无关的充分必要条件是
(A)
?1?0. (B) ?2?0. (C) ?1?0. (D) ?2?0. [ D ]
【分析】 讨论一组抽象向量的线性无关性，可用定义或转化为求其秩即可. 【详解】 方法一：令 k1?1?k2A(?1??2)?0，则
k1?1?k2?1?1?k2?2?2?0， (k1?k2?1)?1?k2?2?2?0. 由于?1,?2线性无关，于是有
?k1?k2?1?0, ?
k??0.?22 当?2?0时，显然有k1?0,k2?0，此时?1，A(?1??2)线性无关；反过来，若?1，A(?1??2) - 28 -