考研数学三真题及解析 联系客服

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2004年考研数学(三)真题解析

一、填空题(本题共6小题,每小题4分,满分24分. 把答案填在题中横线上) (1) 若limsinxx?0ex?a(cosx?b)?5,则a =1,b =

?4.

【分析】本题属于已知极限求参数的反问题. 【详解】因为sinxe?a(cosxlim?0xx?b)?5,且limsinx?(cosx?b)?0,所以

x?0xlim?0(ex?a)?0,得a = 1. 极限化为

limsinx?0ex?a(cosx?b)?xlimx?0x(cosx?b)?1?b?5,得b = ?4.

x因此,a = 1,b = ?4. 【评注】一般地,已知limf(x)g(x)= A, (1) 若g(x) ? 0,则f (x) ? 0;

(2) 若f (x) ? 0,且A ? 0,则g(x) ? 0.

(2) 设函数f (u , v)由关系式f [xg(y) , y] = x + g(y)确定,其中函数g(y)可微,且g(y) ? 0,

?2则

f?g?(v)?u?v?g2(v).

【分析】令u = xg(y),v = y,可得到f (u , v)的表达式,再求偏导数即可. 【详解】令u = xg(y),v = y,则f (u , v) =

ug(v)?g(v), 2

所以,?f1?fg?(v)?u?g(v),?u?v??g2(v).

?xex2,?1?x1(3) 设f(x)???2?2,则?21f(x?1)dx??1??1,x12.

??22【分析】本题属于求分段函数的定积分,先换元:x ? 1 = t,再利用对称区间上奇偶函数的积分性质即可.

【详解】令x ? 1 = t,?21f(x?1)dx??1?1f(t)dt??1?1f(x)dt

2221

=?2x211?1xedx??1(?1)dx?0?(???1222)2.

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【评注】一般地,对于分段函数的定积分,按分界点划分积分区间进行求解. (4) 二次型f(x1,x2,x3)?(x1?x22)?(x2?x23)?(x3?x1)2的秩为 2 . 【分析】二次型的秩即对应的矩阵的秩, 亦即标准型中平方项的项数, 于是利用初等变换

或配方法均可得到答案. 【详解一】因为f(x21,x2,x3)?(x1?x2)2?(x22?x3)?(x3?x1)

?2x2221?2x2?2x3?2x1x2?2x1x3?2x2x3

?于是二次型的矩阵为 A??211??12?1??,

??1?12???1?12??1?1由初等变换得 A???03?3?????2??03?3?? ,

?03?3????000??从而 r(A)?2, 即二次型的秩为2.

【详解二】因为f(x221,x2,x3)?(x1?x2)?(x2?x3)?(x3?x1)2

?2x2221?2x2?2x3?2x1x2?2x1x3?2x2x3

?2(x11?2x1232?2x3)?2(x2?x3)2 ?2y2321?2y2,

其中 y111?x1?2x2?2x3, y2?x2?x3.

所以二次型的秩为2.

(5) 设随机变量X服从参数为λ的指数分布, 则P{X?DX}?

1e. 【分析】 根据指数分布的分布函数和方差立即得正确答案. 【详解】 由于DX?1λ2, X的分布函数为 ?1?e?λxF(x)??,x?0,?0,x?0. 故

P{X?DX}?1?P{X?DX}?1?P{X?111λ}?1?F(λ)?e.

【评注】本题是对重要分布, 即指数分布的考查, 属基本题型.

(6) 设总体X服从正态分布N(μ1,σ2), 总体Y服从正态分布N(μ22,σ),

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X1,X2,?Xn1和 Y1,Y2,?Yn2分别是来自总体X和Y的简单随机样本, 则

22n2?n1???(Xi?X)??(Yj?Y)?j?1?i?1?? E??n1?n2?2??????σ2.

【分析】利用正态总体下常用统计量的数字特征即可得答案.

1n11n222【详解】因为 E[(Xi?X)]?σ, E[(Yj?Y)2]?σ2, ??n1?1i?1n2?1j?1故应填 σ.

【评注】本题是对常用统计量的数字特征的考查.

二、选择题(本题共6小题,每小题4分,满分24分. 每小题给出的四个选项中,只有一项符合题目要求,把所选项前的字母填在题后的括号内) (7) 函数f(x)?2|x|sin(x?2)在下列哪个区间内有界. 2x(x?1)(x?2)(B) (0 , 1).

(C) (1 , 2).

x?a?(A) (?1 , 0).

x?b?(D) (2 , 3). [ A ]

【分析】如f (x)在(a , b)内连续,且极限limf(x)与limf(x)存在,则函数f (x)

在(a , b)内有界.

【详解】当x ? 0 , 1 , 2时,f (x)连续,而limf(x)??x??1?sin3sin2,limf(x)??,

?184x?0x?0?limf(x)?sin2,limf(x)??,limf(x)??, x?1x?24所以,函数f (x)在(?1 , 0)内有界,故选(A).

【评注】一般地,如函数f (x)在闭区间[a , b]上连续,则f (x)在闭区间[a , b]上有界;如函数f (x)在开区间(a , b)内连续,且极限limf(x)与limf(x)存在,则函数f (x)在开区间(a , b)内有界.

x?a?x?b? (8) 设f (x)在(?? , +?)内有定义,且limf(x)?a,

x??

1??f(),x?0,则 g(x)??x??0,x?0(A) x = 0必是g(x)的第一类间断点. (B) x = 0必是g(x)的第二类间断点.

(C) x = 0必是g(x)的连续点.

(D) g(x)在点x = 0处的连续性与a的取值有关. [ D ] 【分析】考查极限limg(x)是否存在,如存在,是否等于g(0)即可,通过换元u?x?01, x - 7 -

可将极限limg(x)转化为limf(x).

x?0x??11【详解】因为xlim?0g(x)?xlim?0f(x)?limu??f(u)= a(令u?x),又g(0) = 0,所以,

当a = 0时,limg(x)?g(0),即g(x)在点x = 0处连续,当a ? 0时,

x?0x = 0处的连续性

xlim?0g(x)?g(0),即x = 0是g(x)的第一类间断点,因此,g(x)在点与a的取值有关,故选(D).

【评注】本题属于基本题型,主要考查分段函数在分界点处的连续性. (9) 设f (x) = |x(1 ? x)|,则

(A) x = 0是f (x)的极值点,但(0 , 0)不是曲线y = f (x)的拐点. (B) x = 0不是f (x)的极值点,但(0 , 0)是曲线y = f (x)的拐点. (C) x = 0是f (x)的极值点,且(0 , 0)是曲线y = f (x)的拐点.

(D) x = 0不是f (x)的极值点,(0 , 0)也不是曲线y = f (x)的拐点. [ C ] 【分析】由于f (x)在x = 0处的一、二阶导数不存在,可利用定义判断极值情况,

考查f (x)在x = 0的左、右两侧的二阶导数的符号,判断拐点情况.

【详解】设0 < ? < 1,当x ? (?? , 0) ? (0 , ?)时,f (x) > 0,而f (0) = 0,所以x = 0是f (x)

的极小值点. 显然,x = 0是f (x)的不可导点. 当x ? (?? , 0)时,f (x) = ?x(1 ? x),f??(x)?2?0,

当x ? (0 , ?)时,f (x) = x(1 ? x),f??(x)??2?0,所以(0 , 0)是曲线y = f (x)的拐点.

故选(C).

【评注】对于极值情况,也可考查f (x)在x = 0的某空心邻域内的一阶导数的符号来判断. (10) 设有下列命题: ??

(1) 若

u2n?1?u2n)收敛,则n?(?1?un收敛.

n?1??? (2) 若

un收敛,则?1000收敛.

n?1?unn?1

(3) 若nlimun?1???u?1,则n?un发散.

n?1??? (4) 若

?vn)收敛,则n?(un?1?un,?vn都收敛.

n?1n?1则以上命题中正确的是 (A) (1) (2). (B) (2) (3). (C) (3) (4). (D) (1) (4). [ B ]

【分析】可以通过举反例及级数的性质来说明4个命题的正确性. 【详解】(1)是错误的,如令un?(?1)n??,显然,

un分散,而u2n?1?u2n)收敛.

n??1?(n?1

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