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2004年考研数学（三）真题解析
一、填空题（本题共6小题，每小题4分，满分24分. 把答案填在题中横线上） (1) 若limsinxx?0ex?a(cosx?b)?5，则a =1，b =
?4.
【分析】本题属于已知极限求参数的反问题. 【详解】因为sinxe?a(cosxlim?0xx?b)?5，且limsinx?(cosx?b)?0，所以
x?0xlim?0(ex?a)?0，得a = 1. 极限化为
limsinx?0ex?a(cosx?b)?xlimx?0x(cosx?b)?1?b?5，得b = ?4.
x因此，a = 1，b = ?4. 【评注】一般地，已知limf(x)g(x)＝ A， (1) 若g(x) ? 0，则f (x) ? 0；
(2) 若f (x) ? 0，且A ? 0，则g(x) ? 0.
(2) 设函数f (u , v)由关系式f [xg(y) , y] = x + g(y)确定，其中函数g(y)可微，且g(y) ? 0，
?2则
f?g?(v)?u?v?g2(v).
【分析】令u = xg(y)，v = y，可得到f (u , v)的表达式，再求偏导数即可. 【详解】令u = xg(y)，v = y，则f (u , v) =
ug(v)?g(v)， 2
所以，?f1?fg?(v)?u?g(v)，?u?v??g2(v).
?xex2,?1?x1(3) 设f(x)???2?2，则?21f(x?1)dx??1??1,x12.
??22【分析】本题属于求分段函数的定积分，先换元：x ? 1 = t，再利用对称区间上奇偶函数的积分性质即可.
【详解】令x ? 1 = t，?21f(x?1)dx??1?1f(t)dt??1?1f(x)dt
2221
＝?2x211?1xedx??1(?1)dx?0?(???1222)2.
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【评注】一般地，对于分段函数的定积分，按分界点划分积分区间进行求解. (4) 二次型f(x1,x2,x3)?(x1?x22)?(x2?x23)?(x3?x1)2的秩为 2 . 【分析】二次型的秩即对应的矩阵的秩, 亦即标准型中平方项的项数, 于是利用初等变换
或配方法均可得到答案. 【详解一】因为f(x21,x2,x3)?(x1?x2)2?(x22?x3)?(x3?x1)
?2x2221?2x2?2x3?2x1x2?2x1x3?2x2x3
?于是二次型的矩阵为 A??211??12?1??,
??1?12???1?12??1?1由初等变换得 A???03?3?????2??03?3?? ,
?03?3????000??从而 r(A)?2, 即二次型的秩为2.
【详解二】因为f(x221,x2,x3)?(x1?x2)?(x2?x3)?(x3?x1)2
?2x2221?2x2?2x3?2x1x2?2x1x3?2x2x3
?2(x11?2x1232?2x3)?2(x2?x3)2 ?2y2321?2y2,
其中 y111?x1?2x2?2x3, y2?x2?x3.
所以二次型的秩为2.
(5) 设随机变量X服从参数为λ的指数分布, 则P{X?DX}?
1e. 【分析】 根据指数分布的分布函数和方差立即得正确答案. 【详解】 由于DX?1λ2, X的分布函数为 ?1?e?λxF(x)??,x?0,?0,x?0. 故
P{X?DX}?1?P{X?DX}?1?P{X?111λ}?1?F(λ)?e.
【评注】本题是对重要分布, 即指数分布的考查, 属基本题型.
(6) 设总体X服从正态分布N(μ1,σ2), 总体Y服从正态分布N(μ22,σ),
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X1,X2,?Xn1和 Y1,Y2,?Yn2分别是来自总体X和Y的简单随机样本, 则
22n2?n1???(Xi?X)??(Yj?Y)?j?1?i?1?? E??n1?n2?2??????σ2.
【分析】利用正态总体下常用统计量的数字特征即可得答案.
1n11n222【详解】因为 E[(Xi?X)]?σ, E[(Yj?Y)2]?σ2, ??n1?1i?1n2?1j?1故应填 σ.
【评注】本题是对常用统计量的数字特征的考查.
二、选择题（本题共6小题，每小题4分，满分24分. 每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，把所选项前的字母填在题后的括号内） (7) 函数f(x)?2|x|sin(x?2)在下列哪个区间内有界. 2x(x?1)(x?2)(B) (0 , 1).
(C) (1 , 2).
x?a?(A) (?1 , 0).
x?b?(D) (2 , 3). [ A ]
【分析】如f (x)在(a , b)内连续，且极限limf(x)与limf(x)存在，则函数f (x)
在(a , b)内有界.
【详解】当x ? 0 , 1 , 2时，f (x)连续，而limf(x)??x??1?sin3sin2，limf(x)??，
?184x?0x?0?limf(x)?sin2，limf(x)??，limf(x)??， x?1x?24所以，函数f (x)在(?1 , 0)内有界，故选(A).
【评注】一般地，如函数f (x)在闭区间[a , b]上连续，则f (x)在闭区间[a , b]上有界；如函数f (x)在开区间(a , b)内连续，且极限limf(x)与limf(x)存在，则函数f (x)在开区间(a , b)内有界.
x?a?x?b? (8) 设f (x)在(?? , +?)内有定义，且limf(x)?a，
x??
1??f(),x?0，则 g(x)??x??0,x?0(A) x = 0必是g(x)的第一类间断点. (B) x = 0必是g(x)的第二类间断点.
(C) x = 0必是g(x)的连续点.
(D) g(x)在点x = 0处的连续性与a的取值有关. [ D ] 【分析】考查极限limg(x)是否存在，如存在，是否等于g(0)即可，通过换元u?x?01， x - 7 -
可将极限limg(x)转化为limf(x).
x?0x??11【详解】因为xlim?0g(x)?xlim?0f(x)?limu??f(u)= a(令u?x)，又g(0) = 0，所以，
当a = 0时，limg(x)?g(0)，即g(x)在点x = 0处连续，当a ? 0时，
x?0x = 0处的连续性
xlim?0g(x)?g(0)，即x = 0是g(x)的第一类间断点，因此，g(x)在点与a的取值有关，故选(D).
【评注】本题属于基本题型，主要考查分段函数在分界点处的连续性. (9) 设f (x) = |x(1 ? x)|，则
(A) x = 0是f (x)的极值点，但(0 , 0)不是曲线y = f (x)的拐点. (B) x = 0不是f (x)的极值点，但(0 , 0)是曲线y = f (x)的拐点. (C) x = 0是f (x)的极值点，且(0 , 0)是曲线y = f (x)的拐点.
(D) x = 0不是f (x)的极值点，(0 , 0)也不是曲线y = f (x)的拐点. [ C ] 【分析】由于f (x)在x = 0处的一、二阶导数不存在，可利用定义判断极值情况，
考查f (x)在x = 0的左、右两侧的二阶导数的符号，判断拐点情况.
【详解】设0 < ? < 1，当x ? (?? , 0) ? (0 , ?)时，f (x) > 0，而f (0) = 0，所以x = 0是f (x)
的极小值点. 显然，x = 0是f (x)的不可导点. 当x ? (?? , 0)时，f (x) = ?x(1 ? x)，f??(x)?2?0，
当x ? (0 , ?)时，f (x) = x(1 ? x)，f??(x)??2?0，所以(0 , 0)是曲线y = f (x)的拐点.
故选(C).
【评注】对于极值情况，也可考查f (x)在x = 0的某空心邻域内的一阶导数的符号来判断. (10) 设有下列命题： ??
(1) 若
u2n?1?u2n)收敛，则n?(?1?un收敛.
n?1??? (2) 若
un收敛，则?1000收敛.
n?1?unn?1
(3) 若nlimun?1???u?1，则n?un发散.
n?1??? (4) 若
?vn)收敛，则n?(un?1?un，?vn都收敛.
n?1n?1则以上命题中正确的是 (A) (1) (2). (B) (2) (3). (C) (3) (4). (D) (1) (4). [ B ]
【分析】可以通过举反例及级数的性质来说明4个命题的正确性. 【详解】(1)是错误的，如令un?(?1)n??，显然，
un分散，而u2n?1?u2n)收敛.
n??1?(n?1
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