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2004年考研数学（三）真题
一、填空题（本题共6小题，每小题4分，满分24分. 把答案填在题中横线上） (1) 若limxx?0sinx(cosx?b)?5，则a =______，b =______. e?a.
?2f(2) 设函数f (u , v)由关系式f [xg(y) , y] = x + g(y)确定，其中函数g(y)可微，且g(y) ? 0，则??u?v11?x2xe,??x??22，则12f(x?1)dx?(3) 设f(x)???21??1,x?2?.
(4) 二次型f(x1,x2,x3)?(x1?x2)2?(x2?x3)2?(x3?x1)2的秩为 . (5) 设随机变量X服从参数为λ的指数分布, 则P{X?DX}?_______. (6) 设总体X服从正态分布N(μ1,σ2), 总体Y服从正态分布N(μ2,σ2),X1,X2,?Xn1和 Y1,Y2,?Yn2分别是来自总体X和Y的简单随机样本, 则
22n2?n1???(Xi?X)??(Yj?Y)?i?1j?1?? E???n1?n2?2??????.
二、选择题（本题共6小题，每小题4分，满分24分. 每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，
把所选项前的字母填在题后的括号内） (7) 函数f(x)?|x|sin(x?2)在下列哪个区间内有界. 2x(x?1)(x?2)(B) (0 , 1).
(C) (1 , 2).
(D) (2 , 3). [ ]
(A) (?1 , 0).
1??f(),x?0(8) 设f (x)在(?? , +?)内有定义，且limf(x)?a， g(x)??x，则
x????0,x?0(A) x = 0必是g(x)的第一类间断点. (B) x = 0必是g(x)的第二类间断点.
(C) x = 0必是g(x)的连续点.
(D) g(x)在点x = 0处的连续性与a的取值有关. [ ] (9) 设f (x) = |x(1 ? x)|，则
(A) x = 0是f (x)的极值点，但(0 , 0)不是曲线y = f (x)的拐点. (B) x = 0不是f (x)的极值点，但(0 , 0)是曲线y = f (x)的拐点. (C) x = 0是f (x)的极值点，且(0 , 0)是曲线y = f (x)的拐点.
(D) x = 0不是f (x)的极值点，(0 , 0)也不是曲线y = f (x)的拐点. [ ] (10) 设有下列命题：
(1) 若
n?1
?(u2n?1?u2n)收敛，则?un收敛.
n?1- 1 -
??
?? (2) 若
un收敛，则.
n??1?un?1000收敛n?1?
(3) 若limun?1?1，则n??un?un发散.
n?1??? (4) 若
(un?vn)收敛，则vn都收敛.
n??1?un，n?1?n?1则以上命题中正确的是
(A) (1) (2). (B) (2) (3).
(C) (3) (4). (D) (1) (4). [ ]
(11) 设f?(x)在[a , b]上连续，且f?(a)?0,f?(b)?0，则下列结论中错误的是 (A) 至少存在一点x0?(a,b)，使得f(x0)> f (a). (B) 至少存在一点x0?(a,b)，使得f(x0)> f (b). (C) 至少存在一点x0?(a,b)，使得f?(x0)?0.
(D) 至少存在一点x0?(a,b)，使得f(x0)= 0.
[ ]
(12) 设n阶矩阵A与B等价, 则必有
(A) 当|A|?a(a?0)时, |B|?a. (B) 当|A|?a(a?0)时, |B|??a. (C) 当|A|?0时, |B|?0. (D) 当|A|?0时, |B|?0. [ ]
(13) 设n阶矩阵A的伴随矩阵A*?0, 若ξ1,ξ2,ξ3,ξ4是非齐次线性方程组 Ax?b的
互不相等的解，则对应的齐次线性方程组Ax?0的基础解系 (A) 不存在. (B) 仅含一个非零解向量.
(C) 含有两个线性无关的解向量. (D) 含有三个线性无关的解向量.
[ ]
(14) 设随机变量X服从正态分布N(0,1), 对给定的α?(0,1), 数uα满足P{X?uα}?α, 若P{|X|?x}?α, 则x等于 (A) uα. (B) u (D) u1?α. [ ]
21?α. (C) u1?α. 22三、解答题(本题共9小题，满分94分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.) (15) (本题满分8分)
求xlim1cos2x?0(sin2x?x2). (16) (本题满分8分)
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求
??(x2?y2?y)d?，其中D是由圆x2?y2?4和(x?1)2?y2?1所围成的 D平面区域(如图).
(17) (本题满分8分) 设f (x) , g(x)在[a , b]上连续，且满足
?xxaf(t)dt??g(t)dt，x ? [a , b)，?bf(t)dt??baaag(t)dt.
证明：
?baxf(x)dx??baxg(x)dx.
(18) (本题满分9分) 设某商品的需求函数为Q = 100 ? 5P，其中价格P ? (0 , 20)，Q为需求量. (I) 求需求量对价格的弹性Ed(Ed> 0)；
(II) 推导
dRdP?Q(1?Ed)(其中R为收益)，并用弹性Ed说明价格在何范围内变化时，降低价格反而使收益增加. (19) (本题满分9分) 设级数
x4x6x82?4?2?4?6?2?4?6?8??(???x???) 的和函数为S(x). 求：
(I) S(x)所满足的一阶微分方程； (II) S(x)的表达式. (20)(本题满分13分)
设αTT1?(1,2,0), α2?(1,α?2,?3α), α3?(?1,?b?2,α?2b)T, β?(1,3,?3)T, 试讨论当a,b为何值时,
(Ⅰ) β不能由α1,α2,α3线性表示;
(Ⅱ) β可由α1,α2,α3唯一地线性表示, 并求出表示式;
(Ⅲ) β可由α1,α2,α3线性表示, 但表示式不唯一, 并求出表示式. (21) (本题满分13分) 设n阶矩阵
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??1b?b?? A??b1?b?? . ???????bb?1???(Ⅰ) 求A的特征值和特征向量;
(Ⅱ) 求可逆矩阵P, 使得P?1AP为对角矩阵. (22) (本题满分13分)
设A，B为两个随机事件,且P(A)?14, P(B|A)?113, P(A|B)?2, 令X???1,A发生， ?1,B发生，?0，A不发生，Y?? ?0，B不发生.求
(Ⅰ) 二维随机变量(X,Y)的概率分布; (Ⅱ) X与Y的相关系数 ρXY; (Ⅲ) Z?X2?Y2的概率分布. (23) (本题满分13分)
设随机变量X的分布函数为
?F(x,α,β)??α?β??1???,x?α， ??x?0，?x?α，其中参数α?0,β?1. 设X1,X2,?,Xn为来自总体X的简单随机样本,
(Ⅰ) 当α?1时, 求未知参数β的矩估计量; (Ⅱ) 当α?1时, 求未知参数β的最大似然估计量; (Ⅲ) 当β?2时, 求未知参数α的最大似然估计量.
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