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缺陷:在现实中每个立场的选民数非均匀分布;非所有人都投票;选民不只考虑政治立场,还有性格,甚至外貌;政治候选人的口号与实际行动未必一致;候选人不止两位。 第三节、

之前的几节课中,各个案例都是有严格劣势策略的。接下来的几个案例中没有严格劣势策略,通过对这些没有严格劣势策略案例,可以模拟更复杂的现实情况,同时对数学的要求会加深。 例:

S1=u,m,d S2=L,R 表格中的数值为play1,2选择不同策略时的得分,两个玩家都想得到更高的得分。

在这个博弈中没有严格劣势策略,因为当play2选择不同策略时,play1的策略中没有一个是始终劣势于其他策略的。

我们可以用画图的方式来分析没有严格劣势策略时Play1应该如何选择策略的案例。

如图:X轴P(r)表示 、play2选择R策略的概率;Y轴表示play1的预期得分。 当P(r)=0时,就是说play2选择L策略。play1选择u,m,d 时的得分分别是5,1,3。 当P(r)=100%时,就是说play2选择R策略。play1选择u,m,d 时的得分分别是0,4,2。 将这六个点分别在图中标出,然后连成直线。就得出了三个函数:

U1(u,p(r))=5-5p(r); ... ...(play1选择u策略时,得分随play2选择R策略的概率变化而变化的函数) U1(m,p(r))=3p(r)+1; U1(d,p(r))=-2p(r)+4.

其中三条直线有三个交点,分别位于P(r)=1/3;1/2;3/5 三处。

结论:从图中可以看出,Play1要得分最高,要根据Play2的P(r)不同分三段来选择策略。 当P(r)小于1/3时,应该选择u策略;当P(r)大于1/3小于3/5时;应该选择中间的线外外代表的策略d;当P(r)大于3/5时,应该选择m策略。

上面这个案例是一个纯理论阐述,下面介绍足球比赛中点球时,射手应该如何选择的问题。这个案例的数据是基于实际比赛中的统计数据。 例:点球

表格中前列数字表示射手射中球的概率,如4表示40%中球率。L表示左,R表示右,M表示中。

用前例中的方法画图:

从图中可得出:为得到最高的点球成功率,当P(r)<50%时,应该射手应该选择踢左边;当P(r)》50%时,应该射手应该选择踢右边;表示踢中路成功率的那条线始终没有最高概率,所以射手最好不要选择踢中路。

这个模型的缺陷:没有考虑射手踢球的习惯;没有考虑守门员守中路的情况(考虑三个要素很复杂,而且中路是可以排除的严格劣势策略);没有考虑球速。

比赛中的真实概率数据:

最佳对策定义:Ui(Si^,S-i)>=Ui(Si`.S-i) 或者 Si^=Max Ui(Si,S-i) Si^表示对手策略S-i的最佳对策。Si`表示Play i的其它对策。 第四节、 例 合伙人博弈:

2个股东都持有公司50%股份;两者平分利润;每个股东要选择为公司投入多少时间,用工作小时数代表双方策略Si=(0,4)[0~4是连续的数,而非只能选整数],双方可以在0至4个小时之间选择。

这家公司利润: 4*[S1+S2+b*S1*S2] (0

所以,U1(s1,s2)=1/2[4*(S1+S2+b*S1*S2)]-S1的平方。{S1的平方表示股东1的努力成本} 假设S2给定 对U1(s1,s2)求导数 U1(s1,s2)`=2(1+bS2)-2S1 当U1(s1,s2)`=0时U1(s1,s2)值最大。

所以当S1=bS2+1时,U1(s1,s2)最大。也就是S1的最佳策略(BR)。同理S2=bS1+1是S2的最佳策略。[BR意为best response ]