发布时间 : 星期日 文章第六章 微分中值定理及其应用- 琼州学院质量工程 - 图文更新完毕开始阅读
(2)y =2tanx?tan2x,?0,?;
?2?(3)y =
???xlnx,(0,??)。
5、设f(x)在区间I上连续,并且在I上仅有唯一的极值点x0。证明:若x0是f的极大(小)值点,则x0必是f(x)在I上的最大(小)值点。
6、把长为l的线段截为两段,问怎样截法能使以这两段线为边所组成的矩形的面积最大?
7、有一个无盖的圆柱形容器,当给定体积为V时,要使容器的表面积为最小,问底的半径与容器高的比例应该怎样?
8、设用某仪器进行测量时,读得n次实验数据为a1,a2,?an。问以怎样的数值x表达所要测量的真值,才能使它与这n个数之差的平方和为最小。
9、求一正数a,使它与其倒数之和最小。 10、求下列函数的极值:
(1)f(x)=|x(x2?1)|;
x(x2?1)(2)f(x)=4; 2x?x?1(3)f(x)=(x?1)(x?1)。
11、设f(x)=alnx?bx?x在x1?1,x2?2处都取得极值,试求a与b;并问这时f在x1与x2是取得极大值还是极小值?
12、在抛物线y?2px哪一点的法线被抛物线所截之线段为最短。
13、要把货物从运河边上A城运往与运河相距为BC= a km的B城,轮船运费的单价是?元/km,火车运费的单价是?元/km(?>?),试求运河边上的一点M,修建铁路MB,使总运费最省。
§5函数的凸性与拐点
1、确定下列函数的凸性区间与拐点:
(1)y =2x?3x?36x?25; (2)y =x?(3)y =x?(5)y =
22322321; x12; (4)y =ln(x?1); x1。 1?x2322、问a和b为何值时,点(1,3)为曲线y =ax?bx的拐点?
5
3、证明:
(1)若f为凸函数,?为非负实数,则?f为凸函数; (2)若f,g均为凸函数,则f+g为凸函数;
(3)若f为区间I上凸函数,g为J?f(I)上凸增函数,则g·f为I上凸函数。 4、设f为区间I上严格凸函数。证明:若x0?I为f的极小值点,则x0为f在I上唯一的极小值点。
5、应用凸函数概念证明如下不等式:
(1)对任意实数a,b,有ea?b2?1a(e?eb); 2?a?b???arctana?arctanb。 2??(2)对任何非负实数a,b,有2arctan?6、证明:若f,g均为区间I上凸函数,则F(x)= max{f(x),g(x)}也是I上凸
函数。
7、证明:(1)f为区间I上凸函数的充要条件是对I上任意三点x1?x2?x3,恒有
1x1 ??1f(x1)f(x2)?0;
f(x3)x21x3(2)f为严格凸函数的充要条件是Δ>0。 8、应用詹森不等式证明: (1)设ai?0(i?1,2,?,n),有
n111????a1a2an?na1a2?an?a1?a2???an;
n(2)设ai,bi?0(i?1,2,?,n),有
?p??q?ab?ab??????iiii?, i?1?i?1??i?1?11??1。 pqnn1pn1q其中p?0,q?0,§6函数图象的讨论
按函数作图步骤,作下列函数图象:
x2(1)y =x?6x?15x?20; (2)y =; 22(1?x)32(3)y = x – 2arctanx; (4)y =xe
?x;
6
(5)y =3x?5x; (6)y =e2353?x2;
(7)y =(x?1)x; (8)y =|x|(x?2)2。
总练习题
23f(x)?limf(x),则至少1、证明:若f(x)在有限开区间(a,b)内可导,且lim??x?ax?b存在一点??(a,b),使f?(?)?0。
2、证明:若x>0,则 (1)x?1?x?12x??(x),其中
11??(x)?; 42(2)lim?(x)?x?011,lim?(x)?。 4x???23、设函数f在[a,b]上连续,在(a,b)内可导,且a·b>0。证明存在??(a,b),使得
a1
a?bf(a)b?f(?)??f?(?)。 f(b)4、设f在[a,b]上三阶可导,证明存在??(a,b),使得 f(b)?f(a)?11(b?a)[f?(a)?f?(b)]?(b?a)3f???(?)。 2125、对f(x)=ln(1+x)应用拉格朗日中值定理,试证:对x≥0有 0?11??1。
ln(1?x)x6、设a1,a2,?,an为n个正数,且
?a1?a2???an f(x)=??n?证明:(1)limf(x)?x?0nxxx??。 ??1xa1a2?an;
(2)limf(x)?max{a1,a2,?,an}。
x??7、求下列极限:
(1?x)(1)lim?x?121/ln(1?x)xex?ln(1?x); (2)lim; 2x?0x 7
x2sin(3)limx?0sinx1x。
(n?2)8、设h>0,函数f在U(a;h)内具有n+2阶连续导数,且f内的泰勒公式为
(a)?0,f在U(a;h)f(n)(a)nf(n?1)(a??h)n?1 f(a?h)?f(a)?f?(a)h???h?h,0???1。
n!(n?1)!证明:lim??h?01。 n?29、设k>0,试问k为何值时,方程arctanx – kx = 0存在正实根。
10、证明:对任一多项式p(x),一定存在x1与x2,使p(x)在(-∞,x1)与(x2,+∞)分别严格单调。 11、讨论函数
1?x??x2sin,x?0, f(x)??2 x?0,x?0,?(1)在x=0点是否可导?
(2)是否存在x=0的一个邻域,使f在该邻域内单调?
12、设函数f在[a,b]上二阶可导,f?(a)?f?(b)?0。证明存在一点??(a,b),使得
|f??(?)|?4|f(b)?f(a)|。 2(b?a)13、设函数f在[0,a]上具有二阶导数,且|f??(x)?M,f在(0,a)内取得最大值。试证
|f?(0)|?|f?(a)|?Ma。
14、设f在[0,+∞)上可微,且0?f?(x)?f(x),f(0)?0。证明:在[0,+∞)上f(x)≡0。
15、设f(x)满足f??(x)?f?(x)g(x)?f(x)?0,其中g(x)为任一函数。证明:若f(x0)?f(x1)?0(x0?x1),则f在[x0,x1]上恒等于0。
16、证明:定圆内接正n边形面积将随n的增加而增加。 17、证明:f为I上凸函数的充要条件是对任何x1,x2?I,函数
?(?)?f(?x1?(1??)x2)
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