发布时间 : 星期二 文章近十份大学微积分下期末试题汇总（含答案）更新完毕开始阅读
22f(x,y)?x?xy?y?y?1在__________点取得极值. 3、函数
?4、已知f(x,y)?x?(x?arctany)arctany,则fx(1,0)?________.
3xy?(C?Cx)e125、以(C1,C2为任意常数)为通解的微分方程是
____________________. 6 知? 0 ??e(1?p)xdx与
? e 1dxxlnp?1x均收敛,则常数p的取值范围是( c ).
(A) p?1 (B) p?1 (C) 1?p?2 (D) p?2
7 数在原点间断,
是因为该函数( b ).
(A) 在原点无定义 (B) 在原点二重极限不存在 (C) 在原点有二重极限,但无定义(D) 在原点二重极限存在,但不等于函数值
I1?x?y2?12?4x22?x2?y2, x?y?0f(x,y)??? 0, x2?y2?0?8、若
??31?x2?y2dxdyI2???31?x2?y2dxdyI3???31?x2?y2dxdy1?x2?y2?22?x2?y2?4,,,
I2?I1?I3I1?I2?I3I2?I1?I3则下列关系式成立的是( a). (A)
I1?I2?I3 (B) (C) (D)
3x9、方程y???6y??9y?5(x?1)e具有特解( d ). 3xy?ax?by?(ax?b)e(A) (B) 23x323xy?(ax?bx)ey?(ax?bx)e(C) (D)
10、设n?1?a?2n收敛，则n?1?(?1)?nan( d ).
(A) 绝对收敛 (B) 条件收敛 (C) 发散 (D) 不定 一、填空题(每小题3分,共15分)
x2(1?y)12(?,)1、1?y. 2、?. 3、33. 4、1. 5、y\?6y'?y?0. 11、求由y?x,x?4,y?0所围图形绕y轴旋转的旋转体的体积.解：
32y?x的函数为
于
是
32x?y,y?023。且
x?4时，
y?8。
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(3分)V???(4?y)dy?16?(8?0)???ydy0088223284337?37?3?128?????y??128????(83?0)7?7?0512??(6分)7
lim12、求二重极限
x?0y?0x2?y2x2?y2?1?1.
解：原式
(x2?y2)(x2?y2?1?1)?limx?0x2?y2?1?1y?0 (3分)
?li(mx2?y2?1?1)?2
x?0y?0 (6分)
?2zzz?z(x,y)z?e?xy确定，求?x?y. 13、由
zF(x,y,z)?z?e?xy，则 解：设
Fx??y，
Fy??x ，
Fz?1?ez
Fy?zF?yy?z?xx??x????????zzzz?xF1?e1?e?yF1?e1?ezz ， (3分)
?2z??y??z?x?y?y1?e?
????1?ez?y?ez?(1?ez)2?z?y1ezxy??z1?e(1?ez)2 (6分)
22z?x?y?1在条件x?y?1下的极值. 14、用拉格朗日乘数法求
222z?x?(1?x)?1?2x?2x?2 解：
令z'?4x?2?0,得
x?11x?2,z\?4?0,2为极小值点. (3分)
113(,)22z?x?y?1在y?1?x下的极小值点为22,极小值为2(6分) 故
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15、计算
?1 112 dy?2edx y yxy.
311I??1dy?2edx?e?e2y82 (6分) 2解：
yxy6、计算二重积分限内的区域. 解：
??(xD2?y2)dxdy22x?y?1所围成的在第一象yD，其中是由轴及圆周
22(x?y)dxdy??D?＝?20?d??rdr0＝8 (6分)
1317、解微分方程y???y??x.
解：令p?y?,y???p?,方程化为p??p?x,于是
?(?1)dx(?1)dxp?e?(?xe?dx?C1)?ex(?xe?xdx?C1)
?ex[?(x?1)e?x?C1]??(x?1)?C1ex (3分) 1y??pdx??[?(x?1)?C1ex]dx??(x?1)2?C1ex?C2?2 (6分)
18、判别级数n?1?(?n3?1?n3?1)的敛散性.
2n3?1?n3?1 (3分)
n3?1?n3?1?解：
n3?1?n3?1nnlim?lim?133n??n??1n?1?n?1nn 因为
119、将函数3?x展开成x的幂级数,并求展开式成立的区间.
111???13?x31?x??xn3,已知 1?xn?0,?1?x?1, (3分) 解：由于
11?xn?1n??()??n?1x3?x3n?03n?03那么 ,?3?x?3. (6分
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20、某公司可通过电台及报纸两种方式做销售某商品的广告.根据统计资料,销售收入R(万元)与电台广告费用x1(万元)的及报纸广告费用x2(万元)之间的关系有如下的经验公式:
2R?15?14x1?32x2?8x1x2?2x12?10x2，
22L?R?x?x?15?13x?31x?8xx?2x?10x12121212 求最优广告策略 解：公司利润为
?1?13?8x2?4x1?0,??Lx?4x1?8x2?13,???L?31?8x?20x?0,?8x?20x2?31,x12令?2即?1
35(x1,x2)?(,)?(0.75,1.25)44得驻点,而 (3分)
??1x1??4?0B?Lx??1x2??8C?Lx??2x2??20A?Lx,,, D?AC?B2?80?64?0,
所以最优广告策略为：
电台广告费用0.75(万元),报纸广告费用1.25(万元). (6分)
四、证明题(每小题5分,共10分)
?z?z1?y?z?ln(x?y)?y3. 21、设，证明：?x1313x证：
?z??x?x?y2n1313x?2313,?z??yx?y
1313y?231322、若n?1?u与n?1?v?2n都收敛,则n?1?(u?n?vn)2收敛.
222220?(u?v)?u?v?2uv?2(u?v), (3分) nnnnnnnn证：由于
并由题设知n?1?u?2n与n?1?v?2n都收敛,则n?1?2(u?2n2?vn)收敛,
从而n?1
?(u?n?vn)2收敛。 (6分)
yf(x?y,)?x2?y2f(x,y)?_____________. x1、设，则
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