发布时间 : 星期日 文章2016年山西省太原市高考数学三模试卷（理科）（解析版）更新完毕开始阅读
22．如图，△ABC内接于直径为BC的圆O，过点A作圆O的切线交CB的延长线于点P，∠BAC的平分线分别交BC和圆O于点D、E，若PA=2PB=10． （1）求证：AC=2AB； （2）求AD?DE的值．
【考点】相似三角形的判定． 【分析】（1）通过证明△ABP∽△CAP，然后证明AC=2AB； （2）利用切割线定理以及相交弦定理直接求AD?DE的值． 【解答】（1）证明：∵PA是圆O的切线∴∠PAB=∠ACB又∠P是公共角 ∴△ABP∽△CAP… ∴
=2，
∴AC=2AB…
（2）解：由切割线定理得：PA2=PB?PC，∴PC=20 又PB=5，∴BC=15…
又∵AD是∠BAC的平分线， ∴
=2，
∴CD=2DB，
∴CD=10，DB=5…
又由相交弦定理得：AD?DE=CD?DB=50…
[选修4-4：坐标系与参数方程]
23．在直角坐标系xOy中，以原点O为极点，x轴的正半轴为极轴，建立极坐标系．已知曲线C1：
（t为参数），C2：
（θ为参数）．
（Ⅰ）化C1，C2的方程为普通方程，并说明它们分别表示什么曲线； （Ⅱ）若C1上的点P对应的参数为t=
，Q为C2上的动点，求PQ中点M到直线C3：ρ
（cosθ﹣2sinθ）=7距离的最小值．
【考点】参数方程化成普通方程；简单曲线的极坐标方程． 【分析】（Ⅰ）曲线C1：C2：
（t为参数），利用sin2t+cos2t=1即可化为普通方程；
（θ为参数），利用cos2θ+sin2θ=1化为普通方程．
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（Ⅱ）当t=时，P（﹣4，4），Q（8cosθ，3sinθ），故M，
直线C3：ρ（cosθ﹣2sinθ）=7化为x﹣2y=7，利用点到直线的距离公式与三角函数的单调性
即可得出．
【解答】解：（Ⅰ）曲线C1：
∴C1为圆心是（﹣4，3），半径是1的圆． C2：
（θ为参数），化为
．
（t为参数），化为（x+4）2+（y﹣3）2=1，
C2为中心是坐标原点，焦点在x轴上，长半轴长是8，短半轴长是3的椭圆． （Ⅱ）当t=
时，P（﹣4，4），Q（8cosθ，3sinθ），故M
，
直线C3：ρ（cosθ﹣2sinθ）=7化为x﹣2y=7， M到C3的距离d=
从而当cossinθ=，sinθ=﹣时，d取得最小值
[选修4-5：不等式选讲]
24．已知函数f（x）=|x﹣1|．
（Ⅰ）解不等式f（x﹣1）+f（x+3）≥6； （Ⅱ）若|a|＜1，|b|＜1，且a≠0，求证：
．
=
|5sin（θ+φ）+13|， ．
【考点】不等式的证明；绝对值不等式；绝对值不等式的解法． 【分析】（Ⅰ）根据绝对值不等式的解法解不等式f（x﹣1）+f（x+3）≥6即可； （Ⅱ）利用分析法 进行证明不等式． 【解答】解：（ I）∵f（x）=|x﹣1|．
∴不等式f（x﹣1）+f（x+3）≥6等价|x﹣2|+|x+2|≥6， 若当x≥2时，不等式等价为x﹣2+x+2≥6， 即2x≥6，解得x≥3．
当﹣2＜x＜2时，不等式等价为2﹣x+x+2≥6， 即4≥6，此时不成立．
当x≤﹣2时，不等式等价为2﹣x﹣x﹣2≥6， 即2x≤﹣6，即x≤﹣3．
综上不等式的解集为（﹣∞，﹣3]∪[3，+∞）． （ II）要证
，
只需证|ab﹣1|＞|b﹣a|， 只需证（ab﹣1）2＞（b﹣a）2
而（ab﹣1）2﹣（b﹣a）2=a2b2﹣a2﹣b2+1=（a2﹣1）（b2﹣1）＞0， ∵|a|＜1，|b|＜1， ∴a2＜1，b2＜1，
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即a2﹣1＜0，b2﹣1＜0， 即（a2﹣1）（b2﹣1）＞0，成立， 从而原不等式成立．
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2016年8月1日
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