发布时间 : 星期六 文章3机械能和功习题思考题更新完毕开始阅读
习题3
??3-1．如图，一质点在几个力作用下沿半径为R?20m的圆周运动，其中有一恒力F?0.6iN，求质点
?从A开始沿逆时针方向经3/4圆周到达B的过程中，力F所做的功。 y解：本题为恒力做功，考虑到B的坐标为（?R，R）， ∴?r?rB?rA??20i?20j，再利用：A?F??r，
???????BAO???有：A?0.6i?(?20i?20j)??12（焦耳）
xF3-2．质量为m=0.5kg的质点，在xOy坐标平面内运动，其运动方程为x=5t2,y=0.5(SI),从t=2s到t=4s这段时间内，外力对质点的功为多少？
?????2解：由功的定义：A?F??r，题意：r?5ti?0.5j
?????d2r????r2?4?r(4)?r(2)?60i，F?m2?0.5?10i?5i
dt∴A?5i?60i?300J。
3-3．劲度系数为k的轻巧弹簧竖直放置，下端悬一小球，球的质量为m，开始时弹簧为原长而小球恰好与地接触。今将弹簧上端缓慢提起，直到小球能脱离地面为止，求此过程中外力的功。 解：由于小球缓慢被提起，所以每时刻可看成外力与弹性力相等，
则：F?kx，选向上为正向。
当小球刚脱离地面时：mg?kxmax，有：xmax?由做功的定义可知：A?
3-4．如图，一质量为m的质点，在半径为R的半球形容器中，由静止开始自边缘上的A点滑下，到达最低点B时，它对容器的正压力数值为N，求质点自A滑到B的过程中，摩擦力对其做的功。 分析：Af直接求解显然有困难，所以使用动能定理，那就要知道它的末速度的情况。
??mg， k?xmax01kxdx?kx22mgk0m2g2。 ?2kv2解：求在B点的速度：N?G?m，
R11mv2?(N?G)R 2212由动能定理： mgR?Af?mv?0
2可得：
A?mR?B1
∴Af?
11(N?G)R?mgR?(N?3mg)R 22???23-5．一弹簧并不遵守胡克定律，其弹力与形变的关系为F?(?52.8x?38.4x)i，其中F和x单位分别为N和m。
（1）计算当将弹簧由x1?0.522m拉伸至x2?1.34m过程中，外力所做之功；
（2）此弹力是否为保守力? 解：（1）由做功的定义可知：
x10.522x2??1.34A??F?dx??(?52.8x?38.4x2)dx
??26.4(x22?x12)?12.6(x23?x13)?69.2J ??（2）∵F(x)?F(x)i，按保守力的定义：
??B??A??F(x)?dl?F(x)i?dr?F(x)i?dr ???A?B??BB????????F(x)i?(dxi?dyj?dzk)??F(x)i(dxi?dyj?dzk)?0
AA∴该弹力为保守力。
???3-6．一质量为m的物体，在力F?(ati?bt2j)的作用下，由静止开始运动，求在任一时刻t此力所做功的功率为多少。
??解：由P?F?v，要求功率就必须知道力和速度的情况，由题意：
????1?F111?v??dt??(ati?bt2j)dt?(at2i?bt3j)
mmm23所以功率为：
????112?13?1112P?F?v?(ati?btj)?(ati?btj)?(a2t3?b2t5)。
m23m23
23-7．一质点在三维力场中运动．已知力场的势能函数为：Ep??ax?bxy?cz。
（1）求作用力F；（2）当质点由原点运动到x?3、y?3、z?3位置的过程中，试任选一路径，计算上述力所做的功。其中Ep的单位为J，x、y、z的单位为m，F的单位为N。
??解：（1）由力和势能的关系：F???EP有：
??????????F??(i?j?k)(?ax2?bxy?cz)?(2ax?by)i?bxj?ck
?x?y?z????径：r?xi?yj?zk，则：
?(3，3，3)?(3，3，3)??????A??F?dr??[(2ax?by)i?bxj?ck]?(dxi?dyj?dzk)
(0，0，0)(0，0，0)（2）由于该力场是有势场，那么力是保守力，保守力做功与路径无关，所以可取一个比较简单的积分路
??(3，3，3)(0，0，0)[(2ax?by)dx?bxdy?cdz]?ax230?byx3，30，0?cz30?9a?9b?3c
3-8．轻弹簧AB的上端A固定，下端B悬挂质量为m的重物。已知弹簧原长为l0，劲度系数为k，重物在O点达到平衡，此时弹簧伸长了x0，如图所示。取x轴向下为正，且坐标原点位于：弹簧原长位置O?；力的平衡位置O。若取原点为重力势能和弹性势能的势能零点，试分别计算重物在任一位置P时系统的总势能。 解：（1）取弹簧原长位置O'为重力势能和弹性势能的势能零点，则重物在任一
2
位置P时系统的总势能：EP??mg(x?x0)?1k(x?x0)2， 2（2）取力的平衡位置O为重力势能和弹性势能的势能零点，则重物在任一位置P时系统的总势能：
112EP??mgx?（kx?x0）?kx02，而mg?kx0
221112kx?x0）?kx02?kx2。 ∴EP??mgx?（222
3-9．在密度为?1的液面上方，悬挂一根长为l，密度为?2的均匀棒AB，棒的B端刚和液面接触如图所示，今剪断细绳，设细棒只在浮力和重力作用下运动，在
?12??2??1的条件下，求细棒下落过程中的最大速度vmax，以及细棒能进入液体的最大深度H。 解：（1）分析可知，棒下落的最大速度是受合力为零的时候， 所以：G?F浮，即?2lsg?利用功能原理：mgh?可解得：vmax??1hsg ，则：h??2l。 ?1h1212mv?A浮，有：?2slvmax??2sglh???1gsydy
022?2gl ?1（2）当均匀棒完全进入液体中时，浮力不变，到最大深度H时，速度为零，设：
'，由能量守恒有：?2lsgH? H?l?h 即：?2lsgH?∴H?l011??ysgdy??lsgh'，
011l??ysgdy??lsg(H?l)
?1l。
2(?1??2)
3-10．若在近似圆形轨道上运行的卫星受到尘埃的微弱空气阻力f的作用，设阻力与速度的大小成正比，比例系数k为常数，即f??kv，试求质量为m的卫星，开始在离地心r0?4R（R为地球半径）陨落到地面所需的时间。
解：根据题意，假设在离地心r0?4R处质点的速度为v1，地面上的速度为v2，万有引力提供卫星向心力：
rvv2Mmm?G02，∴2?0?2 rrv1R再由动量定理：fdt?mdv，有：?kvdt?mdv
v2mmvmdv?ln2?ln2。 分离变量取积分，可得：t???v1kvkv1k
3-11．一链条放置在光滑桌面上，用手揿住一端，另一端有四分之一长度由桌边下垂，设链条长为L，质量为m，试问将链条全部拉上桌面要做多少功？
解：直接考虑垂下的链条的质心位置变化，来求做功，则：
3-12．起重机用钢丝绳吊运质量为m的物体时以速率v0匀速下降，当起重机突然刹车时，因物体仍有惯
3
111A??EP?mg?l?mgl
4832性运动使钢丝绳有微小伸长。设钢丝绳劲度系数为k，求它伸长多少?所受拉力多大?(不计钢丝绳本身质量) 解：当起重机忽然刹车时，物体的动能将转换为钢丝绳的弹性势能，由
112mv0?kx2，可得：x?22m v0，k（这里，由于是微小伸长，因伸长而引起重力势能的降低可以忽略不计）
分析物体的受力，可得到绳子的拉力为：T?mg?kx?mg?mkv0。
3-13．在光滑水平面上，平放一轻弹簧，弹簧一端固定，另一端连一物体A、A边上再放一物体B，它们质量分别为mA和mB，弹簧劲度系数为k，原长为l．用力推B，使弹簧压缩x0，然后释放。求： （1）当A与B开始分离时，它们的位置和速度； （2）分离之后，A还能往前移动多远? 解：（1）当A与B开始分离时，两者具有相同的速度，但A的加速度为零，此时弹簧和B都不对A产生作用力，即为弹簧原长位置时刻，根据能量守恒，可得到：(mA?mB)v?1221kx02，有：v?2kx0，
mA?mBx?l；
（2）分离之后，A的动能又将逐渐的转化为弹性势能，所以：
112mAmAv2?kxA ，则： xA?x 。
mA?mB022
?Gmem?r（me,Re为地球的质量和半径)。3-14．已知地球对一个质量为m的质点的引力为F??（1）若r3选取无穷远处势能为零，计算地面处的势能；（2）若选取地面处势能为零，计算无穷远处的势能．比较两种情况下的势能差． 解：（1）取无穷远处势能为零，地面处的势能为：
???1?1EP??F?dr??Gmem?2?dr??Gmem ；
ReRerRe（2）若选取地面处势能为零，计算无穷远处的势能为：
E???Re???Re11F?dr??Gmem?2?dr?Gmem
?rRe∴两种情况下势能差是完全一样的。
3-15．试证明在离地球表面高度为h(h??Re)处，质量为m的质点所具有的引力势能近似可表示为mgh。 解：∵万有引力的势能函数表达式为EP??G0能为：ERe??G0能为：
Mm，（以无穷远处为势能零点），且此时地球表面处的势rMm??mgRe，在离地球表面高度为h(h??Re)处，质量为m的质点所具有的引力势Re?G0MmMmMm??G0(R?h)??G(Re?h)??mg(Re?h)， e02(Re?h)(Re?h)2Re如果以地面作为零电势处，则质点所具有的引力势能近似可表示为： EP??mgRe?[?mg(Re?h)]?mgh。
思考题3
3-1．求证：一对内力做功与参考系的选择无关。
????证：对于系统里的两个质点而言，一对内力做功可表示为：A?f1?dr?f?dr122，
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