复变函数基本定义 联系客服

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而且正项级数

收敛,则复函数项级数在集上绝对收敛且一致收敛。

级数连续定理-定理4.6 设级数则和函数

的各项在点集上连续,且一致收敛于,

也在

上连续。

逐项积分定理-定理4.7 设级数于

,则沿

可以逐项积分:

的各项在曲线上连续,并且在上一致收敛

内闭一致收敛判据-定理4.8 级数(4.2)在圆对任意正数

维尔斯特拉斯定理-定理4.9 设(1)

,只要

,级数(4.2)在闭圆

内闭一致收敛的充要条件为:上一致收敛。

在区域内解析,

(2)在内内闭一致收敛于函数:

则(1)

在区域

内解析。

(2)

阿贝尔(Abel)定理-定理4.10 如果幂级数(4.3)在某点收敛,则它必在圆

(即以为心,圆周通过

的圆)内绝对收敛且内闭一致收敛。

收敛半径的计算公式-定理4.12 如果幂级数的系数合于

或 或

,(达朗贝尔(D’Alembert) ,(柯西) ,(柯西-阿达玛)

则幂级数的收敛半径

幂级数和的解析性-定理4.13 (1)幂级数

的和函数(2)在

在起收敛圆

内解析。

内,幂级数(4.4)可以逐项求导至任意阶,即

(3)

泰勒公式-定理4.14(泰勒定理) 设含于

,则

内能展成幂级数

在区域内解析,,只要

其中系数

且展式是唯一的。

解析函数的第四判据-定理4.15 点的邻域内可展成

在区域

。 (4.4)

内解析的充要条件为: 在内任一

的幂级数,即泰勒级数。

收敛圆周上的性质-定理4.16 如果幂级数的收敛半径,且

则在

m级零点的判据-定理4.17 不恒为零的解析函数 其中

零点的孤立性-定理4.18 如在必有的一个邻域,使得函数的零点必是孤立的。)

唯一性定理-定理4.20(唯一性定理) 设(1)函数(2)

内有一个收敛于

的点列

,在其上

内的解析函数

在点的邻域

内解析,且

。 以为

在收敛圆周

内与

上至少有一奇点,即不可能有这样的函数

恒等,而在

上处处解析。

存在,它

级零点的充要条件为:

不恒为零,为其零点,则

在其中无异于的零点。(简单说来就是:不恒为零的解析

在区域和

内解析;

等值,则

在内恒等。

最大模原理-定理4.23(最大模原理) 设都不能达到最大值,除非在

在区域内解析,则在内任何点

恒等于常数。

定义

罗朗级数-定义5.1 (5.2)称为右边的级数则称为罗朗级数。

孤立奇点-定义5.2 若称为 若为

在奇点的某一去心邻域

内解析,则

在点的罗朗展式,(5.3)称为其罗朗系数,而(5.2)

的一个孤立奇点。

的一个孤立奇点,则必存在函数

内可展成罗朗级数。

,使

在的去心邻域

可去奇点、极点、本性奇点-定义5.3 设是 (1) 若主要部分为0,则称是 (2) 若主要部分为有限多项,则称是

此处

的孤立奇点,

的可去奇点。

的极点,此时主要部分的系数必满足

级极点。

称为极点的级,亦称为

(3) 若主要部分有无限多项,则称是

无穷远点的孤立奇点性-定义5.4 设函数

内解析,则称

的本性奇点。

在无穷远点(去心)邻域 的一个孤立奇点。

主要定理

双边幂级数的解析性-定理5.1 设双边幂级数