发布时间 : 星期一 文章复变函数基本定义更新完毕开始阅读
而且正项级数
收敛,则复函数项级数在集上绝对收敛且一致收敛。
级数连续定理-定理4.6 设级数则和函数
的各项在点集上连续,且一致收敛于,
也在
上连续。
逐项积分定理-定理4.7 设级数于
,则沿
可以逐项积分:
的各项在曲线上连续,并且在上一致收敛
内闭一致收敛判据-定理4.8 级数(4.2)在圆对任意正数
维尔斯特拉斯定理-定理4.9 设(1)
,只要
,级数(4.2)在闭圆
内闭一致收敛的充要条件为:上一致收敛。
在区域内解析,
(2)在内内闭一致收敛于函数:
则(1)
在区域
内解析。
,
(2)
。
阿贝尔(Abel)定理-定理4.10 如果幂级数(4.3)在某点收敛,则它必在圆
(即以为心,圆周通过
的圆)内绝对收敛且内闭一致收敛。
收敛半径的计算公式-定理4.12 如果幂级数的系数合于
或 或
,(达朗贝尔(D’Alembert) ,(柯西) ,(柯西-阿达玛)
则幂级数的收敛半径
幂级数和的解析性-定理4.13 (1)幂级数
的和函数(2)在
在起收敛圆
内解析。
内,幂级数(4.4)可以逐项求导至任意阶,即
。
(3)
泰勒公式-定理4.14(泰勒定理) 设含于
,则
在
内能展成幂级数
在区域内解析,,只要
其中系数
,
且展式是唯一的。
解析函数的第四判据-定理4.15 点的邻域内可展成
在区域
。 (4.4)
内解析的充要条件为: 在内任一
的幂级数,即泰勒级数。
收敛圆周上的性质-定理4.16 如果幂级数的收敛半径,且
则在
m级零点的判据-定理4.17 不恒为零的解析函数 其中
零点的孤立性-定理4.18 如在必有的一个邻域,使得函数的零点必是孤立的。)
唯一性定理-定理4.20(唯一性定理) 设(1)函数(2)
内有一个收敛于
的点列
,在其上
和
内的解析函数
在点的邻域
,
内解析,且
。 以为
在收敛圆周
内与
上至少有一奇点,即不可能有这样的函数
恒等,而在
上处处解析。
存在,它
级零点的充要条件为:
不恒为零,为其零点,则
在其中无异于的零点。(简单说来就是:不恒为零的解析
在区域和
内解析;
等值,则
和
在内恒等。
最大模原理-定理4.23(最大模原理) 设都不能达到最大值,除非在
内
在区域内解析,则在内任何点
恒等于常数。
定义
罗朗级数-定义5.1 (5.2)称为右边的级数则称为罗朗级数。
孤立奇点-定义5.2 若称为 若为
在奇点的某一去心邻域
内解析,则
在点的罗朗展式,(5.3)称为其罗朗系数,而(5.2)
的一个孤立奇点。
的一个孤立奇点,则必存在函数
内可展成罗朗级数。
,使
在的去心邻域
可去奇点、极点、本性奇点-定义5.3 设是 (1) 若主要部分为0,则称是 (2) 若主要部分为有限多项,则称是
,
此处
的孤立奇点,
的可去奇点。
的极点,此时主要部分的系数必满足
级极点。
,
称为极点的级,亦称为
(3) 若主要部分有无限多项,则称是
无穷远点的孤立奇点性-定义5.4 设函数
内解析,则称
为
的本性奇点。
在无穷远点(去心)邻域 的一个孤立奇点。
主要定理
双边幂级数的解析性-定理5.1 设双边幂级数