复变函数基本定义 联系客服

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(1) 它们是实函数情形的推广 (2) 均处处解析,且 事实上,

同理,可证另一个。 (3)

是奇函数,

是偶函数;且遵从通常的三角恒等式,如

(4) (5)

的零点为

均以

为周期

的零点为 (6)

正切、余切-定义2.6 称

不再是有界函数。

分别为的正切、余切、正割与余割函数。 这四个函数在其分母不为零的点处解析且

双曲函数-定义2.7 规定

并分别称为的双曲正弦、双曲余弦、双曲正切、双曲余切、双曲正割及双曲余割函数。

根式函数-定义2.8 规定根式函数

对数函数-定义2.9 规定对数函数是指数函数的反函数。即若 则复数

。 为幂函数

的反函数。

称为复数的对数,记为

主要定理

可微的必要条件-定理2.1(可微的必要条件) 设区域

上的函数;且在

内一点

可微,则必有:偏导数

是定义在在点

存在;且满足柯西-黎曼条件,即

可微的充要条件-定理2.2(可微的充要条件) 设区域

上的函数。则

在在点在点

内一点

可微;

满足柯西-黎曼条件。

可微的充要条件是:

是定义在

(1) (2) 此时,有:

(2.7)

定义

复积分-定义3.1 设有向曲线

以取分点: 把曲线一点

为起点,

为终点,

沿

有定义,顺着

从到

的方向在

的每一弧段上任意取

分成若干个弧段(图3.1*9)。在从。作成和数

其中

极限存在且等于的积分,并以记号 称为积分路径。分。

当分点无限增多,而这些弧段长度的最大值趋于零时,如果和数

的)

,则称沿表示

表示沿

(从到)的可积,而称为沿(从到

的正方向的积分,表示沿的负方向的积

不定积分-定义3.2 在区域

的函数

内,如果连续,则称合条件

的一个不定积分或原函数。

复围线-定义3.3 考虑条围线

的内部。在,以

其中的内部同时又在

中每一条都在其余

外部的点集

各条的外部,而它们又全都在构成一个有界的多连通区域域

的边界是一条复围线

为它的边界。在这种情况下,我们称区

,它包括取正方向的

,以及取的点总

负方向的换句话说,假如观察者沿复围线

的情形)。

的正方向绕行时,区域

在它的左手边(图3.10是

调和函数-定义3.5 如果二元实函数拉斯方程

,则称

为区域

在区域内有二阶连续偏导数,且满足拉普

内的调和函数。

共轭调和函数-定义3.6 在区域内满足条件

的两个调和函数

中,称为在区域

内的共轭调和函数。(虚部是实部)

主要定理

积分估值定理-定理3.2(积分估值) 若沿曲线

,为

之长,则

,连续,且有正数使

证 由不等式

取极限即得证。

柯西积分定理-定理3.3 设线,则

要证明这个定理是比较困难的。

在平面上的单连通区域内解析,为内任一条围

牛顿-莱布尼兹公式-定理3.8 在定理3.6或定理3.7的条件下,如果通区域

内的任意一个原函数,则

是在单连