发布时间 : 星期一 文章复变函数基本定义更新完毕开始阅读
(1) 它们是实函数情形的推广 (2) 均处处解析,且 事实上,
。
同理,可证另一个。 (3)
是奇函数,
是偶函数;且遵从通常的三角恒等式,如
(4) (5)
的零点为
均以
为周期
的零点为 (6)
正切、余切-定义2.6 称
不再是有界函数。
分别为的正切、余切、正割与余割函数。 这四个函数在其分母不为零的点处解析且
双曲函数-定义2.7 规定
并分别称为的双曲正弦、双曲余弦、双曲正切、双曲余切、双曲正割及双曲余割函数。
根式函数-定义2.8 规定根式函数
对数函数-定义2.9 规定对数函数是指数函数的反函数。即若 则复数
。 为幂函数
的反函数。
称为复数的对数,记为
主要定理
可微的必要条件-定理2.1(可微的必要条件) 设区域
上的函数;且在
内一点
可微,则必有:偏导数
是定义在在点
存在;且满足柯西-黎曼条件,即
可微的充要条件-定理2.2(可微的充要条件) 设区域
上的函数。则
在在点在点
内一点
可微;
满足柯西-黎曼条件。
可微的充要条件是:
是定义在
(1) (2) 此时,有:
(2.7)
定义
复积分-定义3.1 设有向曲线
:
以取分点: 把曲线一点
为起点,
为终点,
沿
有定义,顺着
从到
的方向在
上
到
的每一弧段上任意取
分成若干个弧段(图3.1*9)。在从。作成和数
其中
极限存在且等于的积分,并以记号 称为积分路径。分。
当分点无限增多,而这些弧段长度的最大值趋于零时,如果和数
的)
,则称沿表示
表示沿
(从到)的可积,而称为沿(从到
的正方向的积分,表示沿的负方向的积
不定积分-定义3.2 在区域
的函数
内,如果连续,则称合条件
的一个不定积分或原函数。
复围线-定义3.3 考虑条围线
的内部。在,以
其中的内部同时又在
中每一条都在其余
外部的点集
各条的外部,而它们又全都在构成一个有界的多连通区域域
的边界是一条复围线
为它的边界。在这种情况下,我们称区
,它包括取正方向的
,以及取的点总
负方向的换句话说,假如观察者沿复围线
的情形)。
的正方向绕行时,区域
在它的左手边(图3.10是
调和函数-定义3.5 如果二元实函数拉斯方程
,则称
为区域
在区域内有二阶连续偏导数,且满足拉普
内的调和函数。
共轭调和函数-定义3.6 在区域内满足条件
的两个调和函数
,
中,称为在区域
内的共轭调和函数。(虚部是实部)
主要定理
积分估值定理-定理3.2(积分估值) 若沿曲线
,为
之长,则
,连续,且有正数使
证 由不等式
取极限即得证。
,
柯西积分定理-定理3.3 设线,则
要证明这个定理是比较困难的。
在平面上的单连通区域内解析,为内任一条围
牛顿-莱布尼兹公式-定理3.8 在定理3.6或定理3.7的条件下,如果通区域
内的任意一个原函数,则
是在单连
。