发布时间 : 星期三 文章复变函数基本定义更新完毕开始阅读
（1） 它们是实函数情形的推广 （2） 均处处解析，且 事实上，
。
同理，可证另一个。 （3）
是奇函数，
是偶函数；且遵从通常的三角恒等式，如
（4） （5）
的零点为
均以
为周期
的零点为 （6）
正切、余切－定义2.6 称
不再是有界函数。
分别为的正切、余切、正割与余割函数。 这四个函数在其分母不为零的点处解析且
双曲函数－定义2.7 规定
并分别称为的双曲正弦、双曲余弦、双曲正切、双曲余切、双曲正割及双曲余割函数。
根式函数－定义2.8 规定根式函数
对数函数－定义2.9 规定对数函数是指数函数的反函数。即若 则复数
。 为幂函数
的反函数。
称为复数的对数，记为
主要定理
可微的必要条件－定理2.1（可微的必要条件） 设区域
上的函数；且在
内一点
可微，则必有：偏导数
是定义在在点
存在；且满足柯西-黎曼条件，即
可微的充要条件－定理2.2（可微的充要条件） 设区域
上的函数。则
在在点在点
内一点
可微；
满足柯西-黎曼条件。
可微的充要条件是：
是定义在
（1） （2） 此时，有：
（2.7）
定义
复积分－定义3.1 设有向曲线
：
以取分点： 把曲线一点
为起点，
为终点，
沿
有定义，顺着
从到
的方向在
上
到
的每一弧段上任意取
分成若干个弧段（图3.1*9）。在从。作成和数
其中
极限存在且等于的积分，并以记号 称为积分路径。分。
当分点无限增多，而这些弧段长度的最大值趋于零时，如果和数
的）
，则称沿表示
表示沿
（从到）的可积，而称为沿（从到
的正方向的积分，表示沿的负方向的积
不定积分－定义3.2 在区域
的函数
内，如果连续，则称合条件
的一个不定积分或原函数。
复围线－定义3.3 考虑条围线
的内部。在，以
其中的内部同时又在
中每一条都在其余
外部的点集
各条的外部，而它们又全都在构成一个有界的多连通区域域
的边界是一条复围线
为它的边界。在这种情况下，我们称区
，它包括取正方向的
，以及取的点总
负方向的换句话说，假如观察者沿复围线
的情形）。
的正方向绕行时，区域
在它的左手边（图3.10是
调和函数－定义3.5 如果二元实函数拉斯方程
，则称
为区域
在区域内有二阶连续偏导数，且满足拉普
内的调和函数。
共轭调和函数－定义3.6 在区域内满足条件
的两个调和函数
，
中，称为在区域
内的共轭调和函数。（虚部是实部）
主要定理
积分估值定理－定理3.2（积分估值） 若沿曲线
,为
之长，则
，连续，且有正数使
证 由不等式
取极限即得证。
，
柯西积分定理－定理3.3 设线，则
要证明这个定理是比较困难的。
在平面上的单连通区域内解析，为内任一条围
牛顿－莱布尼兹公式－定理3.8 在定理3.6或定理3.7的条件下，如果通区域
内的任意一个原函数，则
是在单连
。