发布时间 : 星期二 文章(全国通用版)2019高考数学二轮复习中档大题规范练(二)数列(理)更新完毕开始阅读
得a1q2n－1
＝3a1q22n－2
，所以q＝3a1，
n－1
所以a1＝1，所以{an}的通项公式为an＝3(2)当n＝1时，＝1，b1＝1， 当n≥2时，＋＋…＋＝n，① 所以＋＋…＋(n∈N)．
*
b1a1
b1b2a1a2bnan2
b1b2a1a2bn－12
＝(n－1)，② an－1
由①－②得＝2n－1， 所以bn＝(2n－1)3
n－1
bnan，b1＝1也符合， (n∈N)．
n－2
*
综上，bn＝(2n－1)3
0
n－1
所以Tn＝1×3＋3×3＋…＋(2n－3)33Tn＝1×3＋3×3＋…＋(2n－3)3由①－②得
－2Tn＝1×3＋2(3＋3＋…＋33
＝1×3＋2×3×
0
0
1
2
1
2
1
＋(2n－1)·3
nn－1
，①
n－1
＋(2n－1)3，②
n－1
)－(2n－1)·3
nn－1
－1n－(2n－1)·3 3－1
nn＝1＋3－3－(2n－1)3＝(2－2n)3－2， 所以Tn＝1＋(n－1)3(n∈N)．
5．(2018·宿州模拟)已知数列{an}的前n项和为Sn，数列{Sn}的前n项和为Tn，满足Tn＝2Sn－n.
(1)证明数列{an＋2}是等比数列，并求出数列{an}的通项公式； (2)设bn＝n·an，求数列{bn}的前n项和Kn. 解 (1)由Tn＝2Sn－n，得a1＝S1＝T1＝2S1－1， 解得a1＝S1＝1，
由S1＋S2＝2S2－4，解得a2＝4.
当n≥2时，Sn＝Tn－Tn－1 ＝2Sn－n－2Sn－1＋(n－1)， 即Sn＝2Sn－1＋2n－1，①
2
2
2
2
nn*
Sn＋1＝2Sn＋2n＋1，②
由②－①得an＋1＝2an＋2， ∴an＋1＋2＝2(an＋2)， 又a2＋2＝2(a1＋2)，
∴数列{an＋2}是以a1＋2＝3为首项，2为公比的等比数列， ∴an＋2＝3·2
n－1
，
即an＝3·2
n－1
－2(n∈N)．
n－1
*
(2)∵bn＝3n·2
0
－2n，
1
∴Kn＝3(1·2＋2·2＋…＋n·2＝3(1·2＋2·2＋…＋n·2
0
1
0
1
n－1
)－2(1＋2＋…＋n)
2
n－1
)－n－n. ，③
n－1
记Rn＝1·2＋2·2＋…＋n·2
1
2
n－1
2Rn＝1·2＋2·2＋…＋(n－1)·2由③－④，得
－Rn＝2＋2＋2＋…＋2
n0
1
2
＋n·2，④
nn－1
－n·2
n1－2nn＝－n·2 ＝(1－n)·2－1， 1－2∴Rn＝(n－1)·2＋1.
∴Kn＝3(n－1)2－n－n＋3(n∈N)．
n2
*
n