发布时间 : 星期六 文章高一数学一元二次不等式解法练习题及与含参不等式恒成立的例子更新完毕开始阅读
g(x)的图象是平行的直线系4x?3y?3?3a?0。
要使f(x)?g(x)恒成立，
则圆心(?2,0)到直线4x?3y?3?3a?0的距离 满足 d??8?3?3a5?2
解得a??5或a?5（舍去) 3由上可见，含参不等式恒成立问题因其覆盖知识点多，方法也多种多样，但其核心思想还是等价转化，抓住了这点，才能以“不变应万变”，当然这需要我们不断的去领悟、体会和总结。
含参不等式恒成立问题中，求参数取值范围一般方法
恒成立问题是数学中常见问题，也是历年高考的一个热点。大多是在不等式中，已知一个变量的取值范围，求另一个变量的取值范围的形式出现。下面介绍几种常用的处理方法。 一、分离参数
在给出的不等式中，如果能通过恒等变形分离出参数，即：若a?f?x?恒成立，只须求出f?x?max，则a?f?x?max；若a?f?x?恒成立，只须求出f?x?min，则
a?f?x?min，转化为函数求最值。
例1、已知函数f?x??lg?x?的取值范围。 解：根据题意得：x???a??2?，若对任意x??2,???恒有f?x??0，试确定ax?a?2?1在x??2,???上恒成立， x即：a??x?3x在x??2,???上恒成立，
23?9?设f?x???x?3x，则f?x????x???
2?4?22当x?2时，f?x?max?2 所以a?2
在给出的不等式中，如果通过恒等变形不能直接解出参数，则可将两变量分别置于不等式的两边，即：若f?a??g?x?恒成立，只须求出g?x?max，则f?a??gx??mxa，
然后解不等式求出参数a的取值范围；若f?a??g?x?恒成立，只须求出g?x?min，则 f?a??g?x?min，然后解不等式求出参数a的取值范围，问题还是转化为函数求最值。
x2x例2、已知x????,1?时，不等式1?2?a?a?4?0恒成立，求a的取值范围。
??x解：令2?t，?x????,1? ?t??0,2? 所以原不等式可化为：a?a?2t?1， 2t要使上式在t??0,2?上恒成立，只须求出f?t??22t?1在t??0,2?上的最小值即可。 t21?1t?1?1?1?11?1??f?t??2????????? ???,???
t?2t??t?t?t2?4?f?t?min?f?2??33132 ?a?a? ???a? 4422二、分类讨论
在给出的不等式中，如果两变量不能通过恒等变形分别置于不等式的两边，则可利用分类讨论的思想来解决。
例3、若x???2,2?时，不等式x?ax?3?a恒成立，求a的取值范围。
2解：设f?x??x?ax?3?a，则问题转化为当x???2,2?时，f?x?的最小值非负。
2（1） 当?a7??2即：a?4时，f?x?min?f??2??7?3a?0 ?a?又a?4所23以a不存在；
aa2?a?（2） 当?2??2即：?4?a?4时，f?x?mi?f????3?a??0 n24?2???6?a?2 又?4?a?4 ??4?a?2
（3） 当?a?2 即：a??4时，f2?x?min?f?2??7?a?0 ?a??7又
a??4??7?a??4
综上所得：?7?a?2
三、确定主元
在给出的含有两个变量的不等式中，学生习惯把变量x看成是主元（未知数），而把另一个变量a看成参数，在有些问题中这样的解题过程繁琐。如果把已知取值范围的变量作为主元，把要求取值范围的变量看作参数，则可简化解题过程。
2例4、若不等式2x?1?mx?1对满足m?2的所有m都成立，求x的取值范围。
??2解：设f?m??mx?1??2x?1?，对满足m?2的m，f?m??0恒成立，
????2?x2?1???2x?1??0f?2?0????1?71?3?????? 解得： ?x?222???f?2??0?2?x?1???2x?1??0四、利用集合与集合间的关系
在给出的不等式中，若能解出已知取值范围的变量，就可利用集合与集合之间的包含关系来求解，即：?m,n????f?a?,g?a???，则f?a??m且g?a??n，不等式的解即为实数a的取值范围。
例5、当x??,3?时，logax?1恒成立，求实数a的取值范围。 解：??1?logax?1
?1?3???a?31??1??1?（1） 当a?1时，?x?a，则问题转化为?,3???,a? ??11 ?a?3
a??3??a???a3（2） 当
0?a?1时，
a?x?1a，则问题转化为
1?a?1??1??1??3?0?a?? ,3?a,?????3?3??a??1?3??a综上所得：0?a?五、数形结合
1或a?3 3数形结合法是先将不等式两端的式子分别看作两个函数，且正确作出两个函数的图象，然后通过观察两图象（特别是交点时）的位置关系，列出关于参数的不等式。 例6、若不等式3x2?logax?0在x??0,?内恒成立，求实数a的取值范围。 解：由题意知：3x2?logax在x??0,?内恒成立， 在同一坐标系内，分别作出函数
??1?3???1?3?y?3x2和y?logax
观察两函数图象，当x??0,?时，若
??1?3?a?1函数y?logax的图象显然在函
数y?3x2图象的下方，所以不成立；
当0?a?1时，由图可知，y?logax的图象必须过点?,?或在这个点的上方，则，
?11??33?loga1111? ?a? ?1?a? 3327271 27综上得：1?a?上面介绍了含参不等式中恒成立问题几种解法，在解题过程中，要灵活运用题设条件综合分析，选择适当方法准确而快速地解题。
含参数不等式恒成立问题的解题策略（专题探究）
一、教学目标：
理解含参不等式恒成立问题特征；能充分利用化归、数形结合、函数和分类讨论等数学思想解决含参不等式恒成立问题；培养学生分析解决综合问题的能力。 二、教学方法：启发、探究
三、教学过程：通过含参数不等式恒成立问题的求解，通过变式、启发、引导学生探究解题策略，培养学生利用化归、数形结合、函数和分类讨论等数学思想进行解题的意识。 例题1：已知不等式(x?1)m?2x?1对x??0,3?恒成立，求实数m的取值范围。