发布时间 : 星期一 文章高考数学复习立体几何与空间向量第8讲立体几何中的向量方法二 求空间角试题理更新完毕开始阅读
ABDAA，2 以.为坐标原点，建立空间直角坐标系，如图设＝＝2解析→DCBCCD，2)，则1＝(00)，，，(1，1，0)，(0，1，，则(0，00)，(0，1→→DCDB2). (0，，，，＝(1，10)，1＝0)→→DCnznBDCxynDB，所以有⊥设平面的一个法向量为⊥＝(，，，)，则yx，0＋＝??nyBDC＝ (2，－的一个法向量为2，2令＝－，得平面1). ?yz＝0＋2，??
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→??DCn·2??→DCnCDBDC＝，|sin θ＝＝|cos. 设〈与平面〉所成的角为θ，则 ??
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→3DCn??||||2 答案 3FCCFBDBBCCEEBABCDEFABC，则的棱＝，8.已知点上，且，，分别在正方体－2＝2ABCAEF________. 与平面平面所成的二面角的正切值等于
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AGFECBG.
解析 延长，如图所示，，连接相交于点EHHBHAGGBBC，则⊥，连接，作＝3设正方体的棱长为3，则于点＝EHB.
为所求二面角的平面角∠EB223EHBEBBH. ∵＝＝＝，＝1，∴tan∠
BH322 答案3 三、解答题
ABCABCD°，9.(2015·全国Ⅰ卷)如图，四边形＝为菱形，∠120ABCDDFFEABCDBEABCD，⊥平面，⊥平面是平面，同一侧的两点，ECDFBEAE. 2，⊥＝AFCAEC 证明：平面，⊥平面(1)CFAE.
求直线与直线所成角的余弦值(2)
EFFGEGBDBDACG. ，(1)证明 如图，连接，设，连接∩，＝GCAGABCDGBABC＝＝在菱形中，不妨设120＝1.由∠°，可得＝3. ECABCDABBCAEBE. ，，可知由⊥平面＝＝ECAE ⊥又，ACEGEG.
所以⊥＝3，且2DFBEEBG. ＝2，故在Rt ＝△中，可得26FGFDG. ＝在Rt △中，可得2232DFBEBDFEEFBD＝＝＝，可得 ＝，22在直角梯形中，由，，22FGEFEGFGEG. ，所以＝⊥从而＋AFCACFGGEG. ，可得⊥平面又∩＝AECEG 因为?平面，AFCAEC.
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⊥平面所以平面．
→→→GByGBGCxG为单位，轴正方向，的方向为|(2)解 如图，以轴，为坐标原点，分别以|xyzG －长度，建立空间直角坐标系，??2??FEA ，由(1)可得，(03，－，0)，2)(1，0，，，－10??2C0). ，(0，3??2→→??CFAE.
＝(1，3所以，2)，＝，，－3－1??2→→CFAE3·→→CFAE. 〉＝，故cos〈＝－ 3→→CFAE||||3CFAE. 与直线所成角的余弦值为所以直线3
FABCDE为顶点的五面，，10.(2016·全国Ⅰ卷)如图，在以，，，DABEFAFFDAFD°，且二面角2＝体中，平面，∠为正方形，90＝FCBEAFE. 60－－－°与二面角都是－EFDCABEF 证明：平面；⊥平
面(1)AEBC. －的余弦值(2)求二面角－
，(1)证明 EFAFDFAF ⊥⊥由已知可得，
EFDCAF. ⊥平面所以ABEFAF 又，?平面EFDCABEF. 故平面⊥平面GEFDDG. 作，垂足为 (2)解过
⊥ABEFDG.
⊥平面(1)知由→→GFGGFx建立如图所示的空间直角坐标|为坐标原点，|的方向为为单位长，以轴正方向，xyzG.
系－DGDFEDFDDFEAFE3. 为二面角|－，－|的平面角，故∠＝＝60°，则|2|＝由(1)知∠DEAB3). 00)(－3，0，，，(04，可得(1，40)，(－3，，0)，，EFDCABABEF. ，所以由已知得∥平面∥CDABCDEFDC 又平面＝∩平面，EFCDCDAB.
，故∥∥EFDCBEAFBE ，可得⊥平面，由∥CEFCEFCBEF. °＝所以∠为二面角－－的平面角，∠60C3).
，0，2－(从而可得．
→→→→ABEBECAC0). ＝0，－4，3)所以，＝(1，0，，3)，，＝(0，40)，(＝(－3，－4BCEyznx )＝(是平面，的法向量，设，→??ECn，·0＝?zx，30＝＋?? 则即?→y，＝04??EBn，·0＝n3). 0(3，所以可取，－＝→??ACm，·0＝?ABCDm 是平面设的法向量，则→??ABm，0＝·m4). ，，同理可取(0＝3mn19·2mn. ＝－则cos〈〉＝，
mn19||||192AEBC.
－故二面角－的余弦值为－19 能力提升题组)
(建议用时：20分钟
弦值为与直线，，则直线＝＝－2
) (
如图所示，在空间直角坐标系中有直三棱柱(2017·济南质检11.)ABBCCBBCCACCABCA夹角的余
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5525 A. C. B.5533 D. 5ACBCACCOBC，0)，(2(0，0，1)，(0，解析 不妨令1＝，则2＝，可得＝2，(0，0，0)，B ，，1)0，0)，(0，2→→ABBC 1)，＝(－2，2，∴，－＝(0，21)，
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→→ABBC·－4151→→ABBC0.
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＞＝〉＝＝∴cos〈，＝
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5→→595×ABBC||||→→ABBCBCAB 与的夹角，的夹角即
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为直线与直线∴5ABBC. 夹角的余弦值为∴直线与直线5A
答案ODSPOSDSOABCD，＝为侧棱的中点，且 在正四棱锥12.－中，为顶点在底面上的射影，PACBC) 则直线与平面所成的角是(
° D.90 °C.60 ° B.45 °A.30．
xyzOO.
－解析 如图，以为原点建立空间直角坐标系
，，(－，0，0)设，＝0＝(0＝，＝0)＝.则，(aa????P，0，－. aaCOBOCaAaBODSOOA，
0)， ??22aa??→→a??APCAa，，－－ ＝0)，(2，，0则，＝ ??22→aCBa ，0)，＝(，zPACnxy 的一个法向量为)＝设平面(，，，→??CAnx，＝＝0，·0???n ，，解得可取1)＝(0，1则?zy，＝→????APn，0＝·→aCBn1·→nCB cos〈＝，，〉＝＝则nCB|||·| 2→a22·→→nnCBCB )，∴〈60，又∵〈°，，〉＝〉∈(0°，180°PACBC. 30°所成的角为90°－∴直
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线60与平面°＝A
答案
BDABAC分别在这个二两点，直线13.如图所示，二面角的棱上有，，BDABABAC，6，.已知＝4，8＝＝面角的两个半平面内，且都垂直于CD__________.
，则该二面角的大小为2＝17→→→→BDABCDCA ＋解析 ∵＋＝，
→→→→→→BDCABDBDCACA24. ，|· cos∴〈·＝|〉＝－|·|1→→BDCA.
∴ cos〈〉＝－， 2→→BDCA 又所求二面角与〈，〉互补，. °∴所求的二面角为60 °答案 60