发布时间 : 星期三 文章六年级奥数-第四讲[1].几何-平面部分 教师版更新完毕开始阅读
小学六年级奥数
22S?ABC?S?ABC．
1?2?472同理可知?ACG和?ABH的面积也都等于?ABC面积的，所以阴影三角形的面积等于?ABC面积的
7211??3?，所以?ABC的面积是阴影三角形面积的7倍． 77所以，S?ACI:S?BCI:S?ABI?1:2:4，那么，S?BCI?
【巩固】如图在△ABC中，
△GHI的面积DCEAFB1的值． ???,求
△ABC的面积DBECFA2AEHFIBGDCBFIGDCHAE【解析】 连接BG,设S△BGC?1份，根据燕尾定理S△AGC:S△BGC?AF:FB?2:1,S△ABG:S△AGC?BD:DC?2:1,得
S2S△AGC?2(份)，S△ABG?4(份),则S△ABC?7(份)，因此△AGC?,同理连接AI、CH得
S△ABC7S△ABH2S△BIC2S7?2?2?21?,?,所以△GHI?? S△ABC7S△ABC7S△ABC77
【点评】如果任意一个三角形各边被分成的比是相同的，那么在同样的位置上的图形，虽然形状千变万化，但面积是相等的，这在这讲里面很多题目都是用“同理得到”的，即再重复一次解题思路，因此我们有对称法作辅助线.
【例 28】 如图，三角形ABC的面积是1，BD?DE?EC，CF?FG?GA，三角形ABC被分成9部分，请写出
这9部分的面积各是多少?
AAGGPQFBBFNDECM
【解析】 设BG与AD交于点P，BG与AE交于点Q，BF与AD交于点M，BF与AE交于点N．连接CP，CQ，
CM，CN．
根据燕尾定理，S△ABP:S△CBP?AG:GC?1:2，S△ABP:S△ACP?BD:CD?1:2，设S△ABP?1(份)，则
1S△ABC?1?2?2?5(份)，所以S△ABP?
5211213121同理可得，S△ABQ?,S△ABN?,而S△ABG?，所以S△APQ???，S△AQG???．
72375353721311239同理，S△BPM?，S△BDM?,所以S四边形PQMN????3521273570139511511115,S四边形NFCE???S四边形MNED?????,S四边形GFNQ????
3357042321426321642
【巩固】如图，?ABC的面积为1，点D、E是BC边的三等分点，点F、G是AC边的三等分点，那么四边形
JKIH的面积是多少？
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CFGKAIHB
CDEAGKIHB
JFJDE【解析】 连接CK、CI、CJ．
根据燕尾定理，S?ACK:S?ABK?CD:BD?1:2，S?ABK:S?CBK?AG:CG?1:2，
1111所以S?ACK:S?ABK:S?CBK?1:2:4，那么S?ACK??，S?AGK?S?ACK?．
1?2?473212类似分析可得S?AGI?．
151又S?ABJ:S?CBJ?AF:CF?2:1，S?ABJ:S?ACJ?BD:CD?2:1，可得S?ACJ?．
41117那么，SCGKJ???．
4218417根据对称性，可知四边形CEHJ的面积也为，那么四边形JKIH周围的图形的面积之和为
84172161619，所以四边形JKIH的面积为1?SCGKJ?2?S?AGI?S?ABE??2????．
84153707070
【例 29】 右图，△ABC中，G是AC的中点，D、E、F是BC边上的四等分点，AD与BG交于M，AF与
BG交于N，已知△ABM的面积比四边形FCGN的面积大7.2平方厘米，则△ABC的面积是多少平方厘米？
AGMFCBDEAGNMB【解析】 连接CM、CN．
NDEFC
1根据燕尾定理，S△ABM:S△CBM?AG:GC?1:1，S△ABM:S△ACM?BD:CD?1:3，所以S△ABM?S△ABC；
5再根据燕尾定理，S△ABN:S△CBN?AG:GC?1:1，所以S△ABN:S△FBN?S△CBN:S△FBN?4:3，所以AN:NF?4:3，那么
S△ANG151542?2?S△ABC． ???，所以SFCGN??1??S△AFC??S△ABC?77428S△AFC24?37??15根据题意，有S△ABC?S△ABC?7.2，可得S△ABC?336(平方厘米)
528
【例 30】 如图，面积为l的三角形ABC中，D、E、F、G、H、I分别是AB、BC、CA 的三等分点,求阴影部分面
积.
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ADEIHEQDPAIMHNBFGCBFGC
【解析】 三角形在开会，那么就好好利用三角形中最好用的比例和燕尾定理吧！
令BI与CD的交点为M，AF与CD的交点为N，BI与AF的交点为P,BI与CE的交点为Q,连接AM、BN、CP
⑴求S四边形ADMI：在△ABC中，根据燕尾定理，S△ABM:S△CBM?AI:CI?1:2S△ACM:S△CBM?AD:BD?1:2
设S△ABM?1(份)，则S△CBM?2(份),S△ACM?1(份),S△ABC?4(份),
1111所以S△ABM?S△ACM?S△ABC，所以S△ADM?S△ABM?S△ABC,S△AIM?S△ABC,
431212111所以S四边形ADMI?(?)S△ABC?S△ABC,
121261同理可得另外两个顶点的四边形面积也分别是△ABC面积的
6⑵求S五边形DNPQE：在△ABC中，根据燕尾定理
S△ABN:S△ACN?BF:CF?1:2S△ACN:S△BCN?AD:BD?1:2,
11111所以S△ADN?S△ABN??S△ABC?S△ABC,同理S△BEQ?S△ABC
3372121在△ABC中，根据燕尾定理S△ABP:S△ACP?BF:CF?1:2,S△ABP:S△CBP?AI:CI?1:2 1?111?11S△ABC 所以S△ABP?S△ABC，所以S五边形DNPQE?S△ABP?S△ADN?S△BEP?????S△ABC?521211055??1111113同理另外两个五边形面积是△ABC面积的，所以S阴影?1??3? ?3?610570105
【例 31】 如图，面积为l的三角形ABC中，D、E、F、G、H、I分别是AB、BC、CA 的三等分点,求中心六边形
面积.
ADEIHADEQCNRIPHBFGBMFSGC
【解析】 设深黑色六个三角形的顶点分别为N、R、P、S、M、Q，连接CR
在△ABC中根据燕尾定理，S△ABR:S△ACR?BG:CG.?2:1,
S△ABR:S△CBR?AI:CI?1:2
222所以S△ABR?S△ABC,同理S△ACS?S△ABC,S△CQB?S△ABC
77722211所以S△RQS?1????，同理S△MNP?
7777711131根据容斥原理，和上题结果S六边形????
777010
课后练习：
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练习1. 已知△DEF的面积为7平方厘米，BE?CE,AD?2BD,CF?3AF，求△ABC的面积．
AFDBEC
【解析】 S△BDE:S△ABC?(BD?BE):(BA?BC)?(1?1):(2?3)?1:6，
S△CEF:S△ABC?(CE?CF):(CB?CA)?(1?3):(2?4)?3:8S△ADF:S△ABC?(AD?AF):(AB?AC)?(2?1):(3?4)?1:6
设S△ABC?24份，则S△BDE?4份，S△ADF?4份，S△CEF?9份，S△DEF?24?4?4?9?7份，恰好是7平方厘米，所以S△ABC?24平方厘米
练习2. 如图，四边形EFGH的面积是66平方米，EA?AB，CB?BF，DC?CG，HD?DA，求四边形ABCD的面积．
HDAE【解析】 连接BD．由共角定理得S△BCD:S△CGFHCBGDCBGFAEF
?(CD?CB):(CG?CF)?1:2，即S△CGF?2S△CDB
同理S△ABD:S△AHE?1:2，即S△AHE?2S△ABD 所以S△AHE?S△CGF?2(S△CBD?S△ADB)?2S四边形ABCD 连接AC，同理可以得到S△DHG?S△BEF?2S四边形ABCD
S四边形EFGH?S△AHE?S△CGF?S△HDG?S△BEF?S四边形ABCD?5S四边形ABCD
所以S四边形ABCD?66?5?13.2平方米
练习3. 正方形ABCD的面积是120平方厘米，E是AB的中点，F是BC的中点，四边形BGHF的面积是
平方厘米．
ADEGHFADBCEGHF M【解析】 欲求四边形BGHF的面积须求出?EBG和?CHF的面积．
BC
1由题意可得到：EG:GC?EB:CD?1:2，所以可得：S?EBG?S?BCE
3将AB、DF延长交于M点，可得： BM:DC?MF:FD?BF:FC?1:1，
12而EH:HC?EM:CD?(AB?AB):CD?3:2，得CH?CE，
251121而CF?BC，所以S?CHF??S?BCE?S?BCE
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