发布时间 : 星期五 文章苏北苏中七市2019届高三第2次(3月)调研数学参考答案及评分建议 (定稿)更新完毕开始阅读
2已知数列?an?的各项均不为零．设数列?an?的前n项和为Sn，数列?an?的前n项和为Tn， 2?4Sn?Tn?0， 且3Snn?N?．
（1）求a1，a2的值；
（2）证明：数列?an?是等比数列；
（3）若(??nan)(??nan?1)?0对任意的n?N?恒成立，求实数?的所有值． 【解】（1）因为3Sn2?4Sn?Tn?0，n?N*．
令n?1，得3a12?4a1?a12?0，因为a1?0，所以a1?1． 令n?2，得3?1?a2??4?1?a2??1?a22?0，即2a22?a2?0，
因为a2?0，所以a2??1．……………………………………………………………3分
2（2）因为3Sn2?4Sn?Tn?0， ① 所以3Sn?12?4Sn?1?Tn?1?0， ② ②?①得，3?Sn?1?Sn?an?1?4an?1?an?12?0，
因为an?1?0，所以3?Sn?1?Sn??4?an?1?0，③ …………………………………5分 所以3?Sn?Sn?1??4?an?0(n≥2)， ④
当n≥2时，③?④得，3?an?1?an??an?1?an?0，即an?1??1an，
2因为an?0，所以
2??an?1??1． an2a又由（1）知，a1?1，a2??1，所以2??1，
2a12所以数列?an?是以1为首项，?1为公比的等比数列． ……………………………8分 2（3）由（2）知，an??12??n?1．
因为对任意的n?N*，???nan????nan?1??0恒成立， 所以?的值介于n?12??n?1和n?1之间．
2??n数学参考答案与评分细则 第9页（共13页）
?????0对任意的n?N恒成立，所以??0适合． ……………10分 若??0，当n为奇数时，n??1????n??1?恒成立，从而有??n恒成立．
222因为n?12n?1?n?12n*nn?1n?1222(n?1)nn?n?2n?1?0， 记p(n)?n(n≥4)，因为p(n?1)?p(n)?n?1?n?2222n?12
所以p(n)≤p(4)?1，即nn≤1，所以nn≤1（*），
n222从而当n≥5且n≥2时，有?≥2≥n，所以??0不符． ………………………13分
n2n?1?若??0，当n为奇数时，n?12??n???n?12??n?1恒成立，从而有???nn恒成立．
2由（*）式知，当n≥5且n≥-1时，有??≥1≥nn，所以??0不符．
n2?综上，实数?的所有值为0． ………………………………………………………………16分 21．【选做题】
A．[选修4-2：矩阵与变换]（本小题满分10分）
?1??1已知m，n∈R，向量α???是矩阵M???1??2m?的属于特征值3的一个特征向量，求矩阵M n??及另一个特征值．
?1m??1??1?m??3?【解】由题意得，M??3?，即? ??1???2?n???3?，2n?????????12?所以m?2，n?1.即矩阵M=??. …………………………………………………5分 21??矩阵M的特征多项式f(?)???1?2?22????1??4?0， ??1解得矩阵M的另一个特征值为?=?1.…………………………………………………10分 B．[选修4-4：坐标系与参数方程]（本小题满分10分）
?x?1?t，在平面直角坐标系xOy中，已知直线l的参数方程为?( t为参数)，椭圆C的参数方程
?y?t??x?2cos?，(?为参数).设直线l与椭圆C交于A，B两点，求线段AB的长． 为??y?sin??数学参考答案与评分细则 第10页（共13页）
【解】由题意得，直线l的普通方程为x?y?1?0．①
椭圆C的普通方程为x?y2?1．② …………………………………………………4分
21， ……………………………………………8分 由①②联立，解得A(0，-1)，B4，332??所以AB?????4?0?1?13322?42．…………………………………………………10分
3C．[选修4-5：不等式选讲]（本小题满分10分）
已知x，y，z均是正实数，且x2?4y2?z2?16，求证：x?y?z≤6．
?2【证】由柯西不等式得，?x2??2y??z2??12?1???2因为x2?4y2?z2?16，所以?x?y?z?2??2?2?12?≥?x?y?z? ……………5分
?≤16?9?36， 4所以，x?y?z≤6，当且仅当“x?2y?z”时取等号．…………………………10分 【必做题】第22题、第23题，每小题10分，共计20分． 22.（本小题满分10分）
如图，在四棱锥P?ABCD中，底面ABCD是矩形，PA?平面ABCD，AB ??1，AP ??AD ??2. （1）求直线PB与平面PCD所成角的正弦值；
（2）若点M，N分别在AB，PC上，且MN?平面PCD，试确定点M，N的位置． 【解】（1）由题意知，AB，AD，AP两两垂直． uuuruuuruuurAD，AP}为正交基底，建立如图所示的空间 以{AB，
z P 直角坐标系A?xyz，则
B(1，，00)，C(1，，20)，D(0，，20)，P(0，，02). uuruuuruuur0，?2)，PC?(1，2，?2)，PD?(0，2，?2). 从而PB?(1，A 设平面PCD的法向量n?(x， y，z)，uuur??n?PC?0，?x?2y?2z?0，则?uuu即? r2y?2z?0，??n?PD?0，?D y C （第22题）
x B 不妨取y?1，则x?0，z?1．
所以平面PCD的一个法向量为n?(0，，11)． ………………………………………3分
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uur设直线PB与平面PCD所成角为?，所以sin??cos?PB，n??uurPB?nuurPB?n ?10，5即直线PB与平面PCD所成角的正弦值为10．……………………………………5分
5uuur0，0)， （2）设M(a，，则MA?(?a，00)，uuuruuuruuuruuur0，2)， 设PN??PC，则PN???，2?，-2??，而AP?(0，uuuruuuruuuruuur2?，2?2?)． ……………………………………8分 所以MN?MA?AP?PN?(??a，由（1）知，平面PCD的一个法向量为n?(0，，11)， uuur因为MN?平面PCD，所以MN∥n．
???a?0，所以?解得，??1，a?1．
22?2??2?2?，所以M为AB的中点，N为PC的中点． …………………………………………10分 23.（本小题满分10分）
已知a1，a2，，an(n?N*，n≥4)均为非负实数，且a1?a2?证明：（1）当n?4时，a1a2+a2a3+a3a4+a4a1≤1；
（2）对于任意的n?N*，n≥4，a1a2+a2a3+L+an?1an+ana1≤1．
证明：（1）当n?4时，因为a1，a2，…，a4均为非负实数，且a1?a2?a3?a4?2， 所以a1a2+a2a3+a3a4+a4a1=a2(a1+a3)+a4(a3+a1)?(a3+a1)(a2+a4)………………………2分 ?(a+a)+(a2+a4)?≤?31?=1．………………………………………………………………4分 2??2?an?2．
（2）①当n?4时，由（1）可知，命题成立； ②假设当n?k(k≥4)时，命题成立，
即对于任意的k≥4，若x1，x2，…，xk均为非负实数，且x1+x2+L+xk?2， 则x1x2+x2x3+L+xk?1xk+xkx1≤1．
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