发布时间 : 星期一 文章苏北苏中七市2019届高三第2次(3月)调研数学参考答案及评分建议 (定稿)更新完毕开始阅读
从而屋顶面积S?2SVFBC?2S梯形ABFE?2?25?2?25?2.2?160．
cos?cos?cos?所以S关于?的函数关系式为S?160(0???π)． ………………………………6分 cos?4（2）在Rt△FHM中，FH?5tan?，所以主体高度为h?6?5tan?． ……………8分 所以别墅总造价为y?S?k?h?16k
?160?k?(6?5tan?)?16k
cos??160k?80sin?k?96k cos?cos??80k?2?sin??96k …………………………………………10分
cos???记f(?)?2?sin?，0???π，
cos?4?1， 所以f?(?)?2sin?2cos?令f?(?)?0，得sin??1，又0???π，所以??π．………………………………12分
624列表：
所以当??π时，f(?)有最小值．
6答：当?为π时该别墅总造价最低． …………………………………………………14分
618．（本小题满分16分）
22y2x2x如图，在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆C1：?y?1，椭圆C2：2?2?1(a?b?0)，
4ab? f?(?) f(?) ?0，π6???] π 6π ，?π64?0 ??3 Z C2与C1的长轴长之比为2∶1，离心率相同． （1）求椭圆C2的标准方程；
（2）设点P为椭圆C2上一点．
① 射线PO与椭圆C1依次交于点A，B，求证：PA为定值；
PB数学参考答案与评分细则 第5页（共13页）
② 过点P作两条斜率分别为k1，k2的直线l1，l2，且直线l1，l2与椭圆C1均有且只有
一个公共点，求证：k1?k2为定值．
【解】（1）设椭圆C2的焦距为2c，由题意，a?22，c?3，a2?b2?c2，
a22y2x解得b?2，因此椭圆C2的标准方程为??1． ……………………………3分
82（2）①1°当直线OP斜率不存在时，
PA?2?1，PB?2?1，则PA?2?1?3?22． ……………………………4分
PB2?12°当直线OP斜率存在时，设直线OP的方程为y?kx， 代入椭圆C1的方程，消去y，得(4k2?1)x2?4， 所以xA?2y P O B （第18题）
44k2?1，同理xP?284k2?1．………6分
A x 所以xP2?2xA2，由题意，xP与xA同号，所以xP?2xA， |x?xA||xP?xA|从而PA?P??2?1?3?22．
PB|xP?xB||xP?xA|2?1所以PA?3?22为定值． ……………………………………………………………8分 PB②设P(x0，y0)，所以直线l1的方程为y?y0?k1(x?x0)，即y?k1x?k1y0?x0， 记t?k1y0?x0，则l1的方程为y?k1x?t，
代入椭圆C1的方程，消去y，得(4k12?1)x2?8k1tx?4t2?4?0， 因为直线l1与椭圆C1有且只有一个公共点，
所以V?(8k1t)2?4(4k12?1)(4t2?4)?0，即4k12?t2?1?0，
将t?k1y0?x0代入上式，整理得，(x02?4)k12?2x0y0k1?y02?1?0， ……………12分 同理可得，(x02?4)k22?2x0y0k2?y02?1?0，
所以k1，k2为关于k的方程(x02?4)k2?2x0y0k?y02?1?0的两根，
y02?1从而k1?k2?2．……………………………………………………………………14分
x0?4数学参考答案与评分细则 第6页（共13页）
2y2x又点在P(x0，y0)椭圆C2：??1上，所以y02?2?1x02，
4822?1x02?14所以k1?k2???1为定值． ………………………………………………16分 24x0?419．（本小题满分16分）
已知函数f(x)?2lnx?1x2?ax，a?R． 2（1）当a?3时，求函数f(x)的极值；
（2）设函数f(x)在x?x0处的切线方程为y?g(x)，若函数y?f(x)?g(x)是?0，???上
的单调增函数，求x0的值；
（3）是否存在一条直线与函数y?f(x)的图象相切于两个不同的点？并说明理由． 【解】（1）当a?3时，函数f(x)?2lnx?1x2?3x的定义域为?0，???．
222x则f?(x)??x?3??3x?2， xx令f?(x)?0得，x?1或x?2． ………………………………………………………2分 列表：
f(x) x 1? ?0，1 0 极大值 ?1，2? ??↘ 2 0 极小值 ?2，??? + ↗ f?(x)+ ↗ 所以函数f(x)的极大值为f(1)??5；极小值为f(2)?2ln2?4． ………………4分
2（2）依题意，切线方程为y?f?(x0)(x?x0)?f(x0)(x0?0)， 从而g(x)?f?(x0)(x?x0)?f(x0)(x0?0)， 记p(x)?f(x)?g(x)，
则p(x)?f(x)?f(x0)?f?(x0)(x?x0)在?0，???上为单调增函数， 所以p?(x)?f?(x)?f?(x0)≥0在?0，???上恒成立，
即p?(x)?2?2?x?x0≥0在?0，???上恒成立． …………………………………8分
xx0数学参考答案与评分细则 第7页（共13页）
法一：变形得x?2(x?x0)≥0在?0，???上恒成立 ，
x0所以2?x0，又x0?0，所以x0?2． ………………………………………………10分
x0法二：变形得x?2≥x0?2在?0，???上恒成立 ，
xx0因为x?2≥2xx?2?22（当且仅当x?2时，等号成立）， x??所以22≥x0?2，从而x0?2x0??2≤0，所以x0?2．……………………………10分
（3）假设存在一条直线与函数f(x)的图象有两个不同的切点T1(x1，y1)，T2(x2，y2)， 不妨0?x1?x2，则T1处切线l1的方程为：y?f(x1)?f?(x1)(x?x1)，
T2处切线l2的方程为：y?f(x2)?f?(x2)(x?x2)．
?f?(x1)?f?(x2)，因为l1，l2为同一直线，所以?……………………12分
??f(x)?xf(x)?f(x)?xf(x).?111222?2?x?a?2?x?a，12?x2?x1即??2lnx1?1x12?ax1?x12?x1?a?2lnx2?1x22?ax2?x22x12???1??2?x?a.2x2?
?x1x2?2，?整理得，?1x2?2lnx?1x2. ………………………………………………14分 2lnx?12??2122x12x122???0．① 消去x2得，2ln2x122x12令t?，由0?x1?x2与x1x2?2，得t?(0，1)，
2(t?1)记p(t)?2lnt?1?t，则p?(t)?2?1?1??2?0， 2tttt2所以p(t)为(0，1)上的单调减函数，所以p(t)?p(1)?0．
从而①式不可能成立，所以假设不成立，从而不存在一条直线与函数f(x)的图象有两个 不同的切点． ……………………………………………………………………………16分
20．（本小题满分16分）
数学参考答案与评分细则 第8页（共13页）