发布时间 : 星期日 文章辽宁省各市2019年中考数学分类解析 专题4：图形的变换更新完毕开始阅读
数学试卷
∴△ABD≌△ACE（SAS）。∴BD=CE。 延长BD交AC于F，交CE于H。 在△ABF与△HCF中，
∵∠ABF=∠HCF，∠AFB=∠HFC， ∴∠CHF=∠BAF=90°。∴BD⊥CE。
（2）结论：乙．AB：AC=AD：AE，∠BAC=∠DAE=90°。
【考点】全等三角形的判定和性质，三角形内角和定理，旋转的性质。 【分析】（1）①BD=CE，BD⊥CE。根据全等三角形的判定定理SAS推知△ABD≌△ACE，然后由全等三角形的对应边相等证得BD=CE、对应角相等∠ABF=∠ECA；然后在△ABD和△CDF中，由三角形内角和定理可以求得∠CFD=90°，即BD⊥CF。
②BD=CE，BD⊥CE。根据全等三角形的判定定理SAS推知
△ABD≌△ACE，然后由全等三角形的对应边相等证得BD=CE、对应角相等
∠ABF=∠ECA；作辅助线（延长BD交AC于F，交CE于H）BH构建对顶角∠ABF=∠HCF，再根据三角形内角和定理证得∠BHC=90°。
（2）根据结论①、②的证明过程知，∠BAC=∠DFC（或∠FHC=90°）时，该结论成
立了，所以本条件中的∠BAC=∠DAE≠90°不合适。
6. （2019辽宁锦州12分）已知：在△ABC中，∠BAC=90°,AB=AC，点D为直线BC上一动
点（点D
不与B、C重合）.以AD为边作正方形ADEF，连接CF.
(1)如图1，当点D在线段BC上时，求证：① BD⊥CF. ② CF=BC－CD.
(2)如图2，当点D在线段BC的延长线上时，其它条件不变，请直接写出CF、BC、CD三条线段之间 的关系；
(3)如图3，当点D在线段BC的反向延长线上时，且点A、F分别在直线BC的两侧，其它条件不变：①请直接写出CF、BC、CD三条线段之间的关系.
②若连接正方形对角线AE、DF,交点为O,连接OC,探究△AOC的形状，并说明理由.
数学试卷
【答案】解：（1）证明：①∵∠BAC=90°，AB=AC，∴∠ABC=∠ACB=45°。
∵四边形ADEF是正方形，∴AD=AF，∠DAF=90°。
∵∠BAD=∠BAC-∠DAC，∠CAF=∠DAF-∠DAC，∴∠BAD=∠CAF。 ∴△BAD≌△CAF（SAS）。 ∴∠ACF=∠ABD=45°。∴∠ACF+∠ACB=90°。
∴BD⊥CF 。
② 由①△BAD≌△CAF可得BD=CF， ∵BD=BC-CD，∴CF=BC-CD。
（2）CF=BC+CD。 （3）①CF=CD-BC 。
②△AOC是等腰三角形。理由如下： ∵∠BAC=90°
∠ABD=180°-45°=135°。
∵四边形ADEF是正方形，∴AD=AF，∠DAF=90°。
∵∠BAD=∠DAF -∠BAF，∠CAF=∠BAC -∠BAF，∴∠BAD=∠CAF。 ∴△BAD≌△CAF（SAS）。∴∠ACF=∠ABD=180°-45°=135°。 ∴∠FCD=∠ACF -∠ACB =90°，则△FCD为直角三角形。 ∵正方形ADEF中，O为DF中点，∴OC=∵在正方形ADEF中，OA=
形。
【考点】动点问题，正方形的性质，等腰（直角）三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，三角形中线的性质。
【分析】（1）由已知，根据正方形和等腰直角三角形的性质，通过SAS证出△BAD≌△CAF，从而得到
，
AB=AC
，
∴∠ABC=∠ACB=45°
。
则
1DF 。 21AE ，AE=DF，∴OC=OA。∴△AOC是等腰三角2数学试卷
∠ACF=∠ABD=45°，即可证得BD⊥CF。
由△BAD≌△CAF可得BD=CF，而BD=BC-CD，从而CF=BC-CD。
（2）同（1）可证△BAD≌△CAF可得BD=CF，而BD=BC＋CD，从而CF=BC＋CD。 （3）①同（1）可证△BAD≌△CAF可得BD=CF，而BD=CD－BC，从而CF= CD－BC。
②通过SAS证明△BAD≌△CAF，得∠ACF=∠ABD=180°-45°=135°。从而得到
∠FCD=90°。
由三角形中线的性质得到OC=是等腰三角形。
7. （2019辽宁铁岭12分）已知△ABC是等边三角形．
（1）将△ABC绕点A逆时针旋转角θ（0°＜θ＜180°），得到△ADE，BD和EC所在直线相交于点O．
①如图a，当θ=20°时，△ABD与△ACE是否全等？ （填“是”或“否”），∠BOE= 度；
②当△ABC旋转到如图b所在位置时，求∠BOE的度数；
（2）如图c，在AB和AC上分别截取点B′和C′，使AB=3AB′，AC=3AC′，连接B′C′，将△AB′C′绕点A逆时针旋转角（0°＜θ＜180°），得到△ADE，BD和EC所在直线相交于点O，请利用图c探索∠BOE的度数，直接写出结果，不必说明理由．
11DF。由正方形ADEF中，OA=AE ，AE=DF，从而得到△AOC22
【答案】解：（1）①是； 120。
②由已知得：△ABC和△ADE是全等的等边三角形，∴AB=AD=AC=AE。 ∵△ADE是由△ABC绕点A旋转θ得到的，∴∠BAD=∠CAE=θ。 ∴△BAD≌△CAE（SAS）。∴∠ADB=∠AEC。
∵∠ADB+∠ABD+∠BAD=180°，∴∠AEC+∠ABO+∠BAD=180°。 ∵∠ABO+∠AEC+∠BAE+∠BOE=360°，∠BAE=∠BAD+∠DAE， ∴∠DAE+∠BOE=180°。
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又∵∠DAE=60°，∴∠BOE=120°。
（2）当0°＜θ≤30°时，∠BOE =30°，当30°＜θ＜180°时，∠BOE=120°。
【考点】旋转的性质，全等三角形的判定和性质，三角形和多边形内角和定理，等边三角形的性质。
【分析】（1）①∵△ADE是由△ABC绕点A旋转θ得到，∴△ABC是等边三角形。
∴AB=AD=AC=AE，∠BAD=∠CAE=20°，
在△ABD与△ACE中，∵AB=AC，∠BAD=∠CAE，AD=AE，， ∴△ABD≌△ACE（SAS）。 ∵θ=20°，∴∠ABD=∠AEC=
1（180°﹣20°）=80°。 2又∵∠BAE=θ+∠BAC=20°+60°=80°，
∴在四边形ABOE中，∠BOE=360°﹣80°﹣80°﹣80°=120°。
②利用“SAS”证明△BAD和△CAE全等，根据全等三角形对应角相等可得
∠ADB=∠AEC，再利用四边形ABOE的内角和等于360°推出∠BOE+∠DAE=180°，再根据等边三角形的每一个角都是60°得到∠DAE=60°，从而得解。
（2）如图，∵AB=3AB′，AC=3AC′，∴AB?AC?3。∴B′C′∥BC。 ??ABAC3∵△ABC是等边三角形，∴△AB′C′是等边三角形。 根据旋转变换的性质可得AD=AE，∠BAD=∠CAE。 在△ABD和△ACE中，∵AB=AC，∠BAD=∠CAE，AD=AE， ∴△ABD≌△ACE（SAS）。∴∠ABD=∠ACE。
∴∠BOC=180°﹣（∠OBC+∠OCB）=180°﹣（∠OBC+∠ACB+∠ACE）
=180°﹣（∠OBC+∠ACB+∠ABD）=180°﹣（∠ACB+∠ABC） =180°﹣（60°+60°）=60°。
当0°＜θ≤30°时，∠BOE=∠BOC=30°，
当30°＜θ＜180°时，∠BOE=180°﹣∠BOC=180°﹣60°=120°。