2010年福建省厦门一中中美班招生数学试卷 联系客服

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1.平方根

(1)定义:如果一个数的平方等于a,这个数就叫做a的平方根,也叫做a的二次方根. 一个正数有两个平方根,这两个平方根互为相反数,零的平方根是零,负数没有平方根. (2)求一个数a的平方根的运算,叫做开平方.

一个正数a的正的平方根表示为“a”,负的平方根表示为“﹣a”.

正数a的正的平方根,叫做a的算术平方根,记作a.零的算术平方根仍旧是零. 平方根和立方根的性质

1.平方根的性质:正数a有两个平方根,它们互为相反数;0的平方根是0;负数没有平方根. 2.立方根的性质:一个数的立方根只有一个,正数的立方根是正数,负数的立方根是负数,0的立方根是0.

2.实数的运算

(1)实数的运算和在有理数范围内一样,值得一提的是,实数既可以进行加、减、乘、除、乘方运算,又可以进行开方运算,其中正实数可以开平方.

(2)在进行实数运算时,和有理数运算一样,要从高级到低级,即先算乘方、开方,再算乘除,最后算加减,有括号的要先算括号里面的,同级运算要按照从左到有的顺序进行. 另外,有理数的运算律在实数范围内仍然适用.

【规律方法】实数运算的“三个关键”

1.运算法则:乘方和开方运算、幂的运算、指数(特别是负整数指数,0指数)运算、根式运算、特殊三角函数值的计算以及绝对值的化简等.

2.运算顺序:先乘方,再乘除,后加减,有括号的先算括号里面的,在同一级运算中要从左到右依次运算,无论何种运算,都要注意先定符号后运算.

3.运算律的使用:使用运算律可以简化运算,提高运算速度和准确度.

3.合并同类项

(1)定义:把多项式中同类项合成一项,叫做合并同类项.

(2)合并同类项的法则:把同类项的系数相加,所得结果作为系数,字母和字母的指数不变.

(3)合并同类项时要注意以下三点:

①要掌握同类项的概念,会辨别同类项,并准确地掌握判断同类项的两条标准:带有相同系数的代数项;字母和字母指数;

②明确合并同类项的含义是把多项式中的同类项合并成一项,经过合并同类项,式的项数会减少,达到化简多项式的目的;

③“合并”是指同类项的系数的相加,并把得到的结果作为新的系数,要保持同类项的字母和字母的指数不变.

4.同底数幂的乘法

(1)同底数幂的乘法法则:同底数幂相乘,底数不变,指数相加. mnm+n

a?a=a(m,n是正整数)

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(2)推广:a?a?a=a(m,n,p都是正整数)

352222

在应用同底数幂的乘法法则时,应注意:①底数必须相同,如2与2,(ab)3与(ab)

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4,(x﹣y)与(x﹣y)等;②a可以是单项式,也可以是多项式;③按照运算性质,只有相乘时才是底数不变,指数相加.

(3)概括整合:同底数幂的乘法,是学校整式乘除运算的基础,是学好整式运算的关键.在运用时要抓住“同底数)这一关键点,同时注意,有的底数可能并不相同,这时可以适当变形为同底数幂.

5.幂的乘方与积的乘方

(1)幂的乘方法则:底数不变,指数相乘. mnmn

(a)=a(m,n是正整数)

注意:①幂的乘方的底数指的是幂的底数;②性质中“指数相乘”指的是幂的指数与乘方的指数相乘,这里注意与同底数幂的乘法中“指数相加”的区别.

(2)积的乘方法则:把每一个因式分别乘方,再把所得的幂相乘.

nnn

(ab)=ab(n是正整数)

注意:①因式是三个或三个以上积的乘方,法则仍适用;②运用时数字因数的乘方应根据乘方的意义,计算出最后的结果.

6.同底数幂的除法

同底数幂的除法法则:底数不变,指数相减.

a÷a=a(a≠0,m,n是正整数,m>n) ①底数a≠0,因为0不能做除数;

②单独的一个字母,其指数是1,而不是0;

③应用同底数幂除法的法则时,底数a可是单项式,也可以是多项式,但必须明确底数是什么,指数是什么.

7.提公因式法与公式法的综合运用 提公因式法与公式法的综合运用.

8.分式的化简求值

先把分式化简后,再把分式中未知数对应的值代入求出分式的值.

在化简的过程中要注意运算顺序和分式的化简.化简的最后结果分子、分母要进行约分,注意运算的结果要化成最简分式或整式. 【规律方法】分式化简求值时需注意的问题

1.化简求值,一般是先化简为最简分式或整式,再代入求值.化简时不能跨度太大,而缺少必要的步骤,代入求值的模式一般为“当…时,原式=…”.

2.代入求值时,有直接代入法,整体代入法等常用方法.解题时可根据题目的具体条件选择合适的方法.当未知数的值没有明确给出时,所选取的未知数的值必须使原式中的各分式都有意义,且除数不能为0.

9.零指数幂

0

零指数幂:a=1(a≠0)

mmmmm﹣m00由a÷a=1,a÷a=a=a可推出a=1(a≠0)

0

注意:0≠1.

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m

n

m﹣n

mnpm+n+p

10.负整数指数幂

负整数指数幂:a=1ap(a≠0,p为正整数) 注意:①a≠0;

②计算负整数指数幂时,一定要根据负整数指数幂的意义计算,避免出现(﹣3)=(﹣3)×(﹣2)的错误.

③当底数是分数时,只要把分子、分母颠倒,负指数就可变为正指数. ④在混合运算中,始终要注意运算的顺序.

11.根的判别式

2

利用一元二次方程根的判别式(△=b﹣4ac)判断方程的根的情况.

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一元二次方程ax+bx+c=0(a≠0)的根与△=b﹣4ac有如下关系: ①当△>0时,方程有两个不相等的两个实数根; ②当△=0时,方程有两个相等的两个实数根; ③当△<0时,方程无实数根. 上面的结论反过来也成立.

12.根与系数的关系

2

(1)若二次项系数为1,常用以下关系:x1,x2是方程x+px+q=0的两根时,x1+x2=﹣p,x1x2=q,反过来可得p=﹣(x1+x2),q=x1x2,前者是已知系数确定根的相关问题,后者是已知两根确定方程中未知系数.

2

(2)若二次项系数不为1,则常用以下关系:x1,x2是一元二次方程ax+bx+c=0(a≠0)的两根时,x1+x2=

,x1x2=,反过来也成立,即=﹣(x1+x2),=x1x2.

﹣2

﹣p

(3)常用根与系数的关系解决以下问题:

①不解方程,判断两个数是不是一元二次方程的两个根.②已知方程及方程的一个根,求

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另一个根及未知数.③不解方程求关于根的式子的值,如求,x1+x2等等.④判断两根的符号.⑤求作新方程.⑥由给出的两根满足的条件,确定字母的取值.这类问题比较综合,解题时除了利用根与系数的关系,同时还要考虑a≠0,△≥0这两个前提条件.

13.一次函数的应用 1、分段函数问题

分段函数是在不同区间有不同对应方式的函数,要特别注意自变量取值范围的划分,既要科学合理,又要符合实际. 2、函数的多变量问题

解决含有多变量问题时,可以分析这些变量的关系,选取其中一个变量作为自变量,然后根据问题的条件寻求可以反映实际问题的函数. 3、概括整合

(1)简单的一次函数问题:①建立函数模型的方法;②分段函数思想的应用. (2)理清题意是采用分段函数解决问题的关键.

14.一次函数综合题

(1)一次函数与几何图形的面积问题

首先要根据题意画出草图,结合图形分析其中的几何图形,再求出面积.

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(2)一次函数的优化问题

通常一次函数的最值问题首先由不等式找到x的取值范围,进而利用一次函数的增减性在前面范围内的前提下求出最值. (3)用函数图象解决实际问题

从已知函数图象中获取信息,求出函数值、函数表达式,并解答相应的问题.

15.反比例函数的应用

(1)利用反比例函数解决实际问题

①能把实际的问题转化为数学问题,建立反比例函数的数学模型.②注意在自变量和函数值的取值上的实际意义.③问题中出现的不等关系转化成相等的关系来解,然后在作答中说明.

(2)跨学科的反比例函数应用题

要熟练掌握物理或化学学科中的一些具有反比例函数关系的公式.同时体会数学中的转化思想.

(3)反比例函数中的图表信息题

正确的认识图象,找到关键的点,运用好数形结合的思想.

16.二次函数图象与系数的关系

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二次函数y=ax+bx+c(a≠0)

①二次项系数a决定抛物线的开口方向和大小.

当a>0时,抛物线向上开口;当a<0时,抛物线向下开口;IaI还可以决定开口大小,IaI越大开口就越小.

②一次项系数b和二次项系数a共同决定对称轴的位置. 当a与b同号时(即ab>0),对称轴在y轴左; 当a与b异号时(即ab<0),对称轴在y轴右.(简称:左同右异)

③.常数项c决定抛物线与y轴交点. 抛物线与y轴交于(0,c). ④抛物线与x轴交点个数.

22△=b﹣4ac>0时,抛物线与x轴有2个交点;△=b﹣4ac=0时,抛物线与x轴有1个交点;

2

△=b﹣4ac<0时,抛物线与x轴没有交点.

17.抛物线与x轴的交点

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求二次函数y=ax+bx+c(a,b,c是常数,a≠0)与x轴的交点坐标,令y=0,即ax+bx+c=0,解关于x的一元二次方程即可求得交点横坐标.

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(1)二次函数y=ax+bx+c(a,b,c是常数,a≠0)的交点与一元二次方程ax+bx+c=0根之间的关系.

△=b﹣4ac决定抛物线与x轴的交点个数.

2

△=b﹣4ac>0时,抛物线与x轴有2个交点;

2

△=b﹣4ac=0时,抛物线与x轴有1个交点;

2

△=b﹣4ac<0时,抛物线与x轴没有交点. (2)二次函数的交点式:y=a(x﹣x1)(x﹣x2)(a,b,c是常数,a≠0),可直接得到抛物线与x轴的交点坐标(x1,0),(x2,0).

18.平行线的性质 1、平行线性质定理

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