发布时间 : 星期日 文章高等数学讲稿 第七章 多元函数及其微分法更新完毕开始阅读
Fx·x?(t)+ Fy·y?(t)+ Fz·z?(t)=0
令t=t0得
?Fx(P0)?x?(t0)?Fy(P0)?y?(t0)?Fz(P0)?z?(t0)?{Fx(P0),Fx(P0),Fx(P0)}?S?0 取n={Fx(P0),Fy(P0),Fz(P0)}
?? ∴任一曲线的切向量s都垂直于固定向量n，且在同一平面上。
?∴n为?在P0点法线 ∴切平面方程：Fx?(x?x0)?Fy?(y?y0)?Fz?(z?z0)?0
y?y0x?x0z?z0法线：Fx(Po)=Fy(P0)=Fz(P0)
?ffynx2.显函数的曲面：z=f(x，y)，(，连续且不同时为0)则法向量={-fx，
-fy，1}或{fx，fy，-1}
fyfx1?????nnnn注：取0={-，-，}?{cos?,cos?,cos?}称cos?,cos?,cos?为n的
?n方向余弦。且0的方向向上。即cos??0
?【例】：(03-I)求曲面z=x+y与平行于x-y+2z=0的切平面方程
?x?y-2zn?解：令F（x，y，z）=，={2x0，2y0，-1}
22?n∴ ={2,4,-1}，z0=5。P0(1，2，5)
2x02y0?12=4=?1?x0 =1，y0=2。
∴ 切平面方程：2x+2y-z=0
第七节 多元函数极值
一.无条件极值
??驻点 1、在前面学习一元函数极值时：极值点???驻点，? 极值点可能是导数为0的点或导数不存在的点，∴极值点????极值点，y=x3在x=0点为驻点但非极值点。 驻点???2、二元函数极值（推广）：
若对?P?U（Po）。都有f（P） 定理1：（必要条件）设z=f（x，y）的偏导数存在，（x0，y0）为f（x，y）的极值点，则 不等不等不等fx（x0，y0）=fy（x0，y0）=的点为f（x0，y0）的驻点。 证明：不妨设（x0，y0）为极大值，即?（x，y）?U（Po）都有f（x，y） 对于y=y0，x?x0，则f（x，y0） ??驻点 【注】：极值点??〖反例〗：（1）f（x，y）=xy，（0，0）是其驻点，但非其极值点。 （2）极值点可能是驻点，也可能是偏导数不存在的点。 定理2：（充分条件）设z=f（x，y）在（x0，y0）有连续的二价偏导数。（x0， ff y0）为f（x，y）的驻点，令A=fxx=（x0，y0）B=xy（x0，y0）C=yy（x0，y0）则： 当AC-B2>0时（x0，y0）为极值点，且A<0时为极小值点，A<0时为极大值点。 AC-B2=0 时可能有极值点也可能没有极值点 AC-B2>0时 （x0，y0）不是极值点 【例】：z?sinx?cosy?cos(x?y)，0 不等?zx?cosx?sin(x?y)?0?解：求驻点：?zy??sinx?sin(x?y)?0 解得：驻点（?/3，?/6） A=fxx（?/3，?/6）=-3，B=3/2，C=-3， 由于AC—B2=3—3/4>0，从而（?/3，?/6）为其极值点，又A<0故为极大值点且极大值：z（?/3，?/6）=33/2 二、最大值与最小值（最值） ??极大值 我们在高等数学上册知道：在一元函数中最大值??[（1）当最值在区间内部取得时，一定为极大值，而在端点取得最值一定不是极值] 二元函数：M，m的求法：先求出区域的内部的所有可能极值(驻点及所有偏导数不存在的点)并计算函数值，最后比较这些函数值的大小，最大的为M， 不等最小的为m。 【例】：（95—IV）时z=x2y（4-x-y）D由x轴，y轴，x+y=6所围成，求z在D上的最大值和最小值（M，m）。 ?z??2xy(4?x?y)?x2y?0??x???z?x?222?x(4?x?y)?xy?0?????y??y?1 解：（1）在D的内部：且z（2，1）=4（不该计算A，B，C） （2）在OA，OB上，有y=0或x=0， ∴z=0 （3）在线段AB上，y=6-x，且0?x?6， 代入z，则z=2x3-12x2， ?∴zx=6x2—24x=0?x=0（舍）或x=4， ∴ y=2，∴z（4，2）=-64 综上：M=4，m=-64。 三、条件极值——拉格朗日数乘法 问：设f(x,y)，?(x,y)有连续的偏导数。?x，?y不同时为0，求z=f(x,y)在?(x,y)=0条件下的极值？ 解：设（x0，y0）上z=f(x,y)在?(x,y)=0条件下的极值。 则?(x0,y0)=0，由于?x(x0,y0)，∴不妨设 ?y(x0,y0)不同时为0， ?y(x0,y0)? 0 则由?(x.,y)=0可唯一确定y??(x)，则z=f(x,?(x))在点x取得极值，从而 dz?fx(x0,y0)?fy(x0,y0)????0dxx0fx?fy??x?0'?又(x0)=- ?x(x0,y0)?y(x0,y0) ?y?，令?= fy?y ?fx(x0,y0)???x(x0,y0)?0?f(x,y)???y(x0,y0)?0则：?y00 即：（x0,y0）必满足： ?fx(x0,y0)???x(x0,y0)?0??fy(x0,y0)???y(x0,y0)?0???(x0,y0)?0 〖注意〗：方程组中含有三个未知元x0,y0,? 若令F(x，y，z)=f(x，y)+??(x,y),则 ?Fx?0??Fy?0??F??0 【注】：1、求z=f(x，y)在条件?(x，y)=0下的极值方法，令F(x，y，z)=f(x，y)+??(x，y) ?Fx?0??Fy?0????0? 由 解得所有可能的极值点。 2、绝对不能用条件极值的判别法判别这些可能的极值点是否是极大（小）值点，只能用实际问题的性质去判断（最大，最小值一定存在） 【例】：求表面积为2a，体积最大的长方体的体积。 解：令长，宽，高分别为x，y，z，V=xyz 则s=2a=2(xy+yz+xz)令 F(x，y，?)=xyz+?(xy+yz+xz-a) ?Fx?F?y??Fz?F???yz??(y?z)?0?xz??(x?z)?0?xy??(x?y)?0?yzxzxy???????xy?yz?xz?a?0??y?zx?zx?y? x=y=z 3?a? 3x2?3=a x=y=z=. 由于最大值一定存在，从而（x0,y0,z0）为最大值点，且最大值为：3a3V=()3