发布时间 : 星期五 文章2017-2018版高中数学第三单元导数及其应用疑难规律方法教学案新人教B版选修1-1更新完毕开始阅读
当a>,即a>0,x∈(-∞,)时,f′(x)<0,
33
aaax∈(,a)时,f′(x)>0,x∈(a,+∞)时,f′(x)<0,
3
a43
因此,函数f(x)在x=处取得极小值-a,在x=a处取得极大值0.
327
当a<,即a<0,x∈(-∞,a)时,f′(x)<0,
3
aaax∈(a,)时,f′(x)>0,x∈(,+∞)时,f′(x)<0,
3
3
a43
因此,函数f(x)在x=处取得极大值-a,在x=a处取得极小值0.
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点评 本题对f(x)求导后,得到一个二次函数,令f′(x)=0得到的两个根是含有参数的,因此应按两个根的大小来分类. 2.按是否为二次函数来分类
1-a1
例2 已知函数f(x)=ln x-ax+-1(a≤),讨论f(x)的单调性.
x2
ax2-x+1-a解 f′(x)=-,x∈(0,+∞),
x2
令h(x)=ax-x+1-a,x∈(0,+∞), (1)当a=0时,h(x)=-x+1,x∈(0,+∞),
当x∈(0,1)时,h(x)>0,此时f′(x)<0,函数f(x)单调递减; 当x∈(1,+∞)时,h(x)<0,此时f′(x)>0,函数f(x)单调递增. 1
(2)当a≠0时,由f′(x)=0,解得x1=1,x2=-1,
2
a1
①当a=,即x1=x2时,h(x)≥0恒成立,
2此时f′(x)≤0,f(x)在(0,+∞)上单调递减; 11
②当01>0,
2ax∈(0,1)时,h(x)>0,f′(x)<0,f(x)单调递减, x∈(1,-1)时,h(x)<0,f′(x)>0,f(x)单调递增, ax∈(-1,+∞)时,h(x)>0,f′(x)<0,f(x)单调递减;
a1
③当a<0时,-1<0<1,
11
ax∈(0,1)时,h(x)>0,f′(x)<0,f(x)单调递减,
x∈(1,+∞)时,h(x)<0,f′(x)>0,f(x)单调递增.
综上所述,当a≤0时,函数f(x)在(0,1)上单调递减,在(1,+∞)上单调递增; 1
当a=时,函数f(x)在(0,+∞)上单调递减;
2
111
当0 2aa点评 由于f′(x)的分子是一个二次项含参的函数,因此在分类讨论时,首先应按a是否为零,即该函数是否为二次函数来分类,然后当a≠0时,再按根的大小来分类(与例1类似),另外,应注意参数的范围. 3.按最值来分类 例3 设函数f(x)=e-e,若对所有x≥0都有f(x)≥ax,求实数a的取值范围. 解 令g(x)=f(x)-ax, 则g′(x)=f′(x)-a=e+e-a, 1x-xx由于e+e=e+x≥2(当且仅当x=0时等号成立), e所以当a≤2时,g′(x)=e+e-a≥2-a≥0, 故g(x)在(0,+∞)上为增函数. 所以当x≥0时,g(x)≥g(0)=0,即f(x)≥ax. 当a>2时,方程g′(x)=0的根为x1=ln x-xx-xx-xa-a2-4 2 <0,x2=ln a+a2-4 2 >0, 此时,若x∈(0,x2),则g′(x)<0,故g(x)在区间(0,x2)内为减函数. 所以x∈(0,x2)时,g(x) 综上所述,满足条件的实数a的取值范围为a≤2. 点评 本题对函数求导后应根据导数中含自变量部分的最值对a进行分类讨论. 小结 通过以上几例我们可以总结出分类讨论的原则:(1)要有明确的分类标准;(2)分类要不重复、不遗漏;(3)当讨论的对象不止一种时,应分层次进行.分类讨论的一般步骤:先明确讨论对象,确定对象的范围,再确定分类标准,逐段分析,获得阶段性结果,最后归纳总结得出结论. 6 导数计算中的易错点 1.对定义理解不透 例1 已知函数f(x)=3x-2x+5, 4 3 则Δlim x→0 f1+2Δx-f1 =________. Δx3 2 错解 因为f′(x)=12x-6x, 所以原式=f′(1)=6.故填6. 剖析 在导数的定义中,增量Δx的形式是多种多样的,但不论Δx选择哪种增量形式,相应的Δy也应选择对应的形式,本题Δy中x的增量为2Δx,则分母也应为2Δx. 正解 因为f′(x)=12x-6x, 所以原式=Δlim x→0故填12. 答案 12 2.对导数的几何意义理解有误 例2 已知曲线y=f(x)=x-3x,求过点A(2,2)且与该曲线相切的切线方程. 错解 因为点A(2,2)在曲线y=f(x)=x-3x上, 且f′(x)=3x-3,所以f′(2)=9. 所以所求切线方程为y-2=9(x-2), 即9x-y-16=0. 剖析 上述解法错在对导数的几何意义理解有误,切线的斜率k应是切点处的导数,而点 2 3 33 2 f1+2Δx-f1 ·2=2f′(1)=12. 2ΔxA(2,2)虽在曲线上,但不一定是切点,故本题应先设切点,再求斜率k. 正解 设切点为P(x0,x0-3x0),又y′=3x-3. 所以在点x0处的切线方程为 2 y-(x30-3x0)=(3x0-3)(x-x0). 3 2 又因为切线过点A(2,2), 所以2-(x0-3x0)=(3x0-3)(2-x0), 即(x0-2)(x0+1)=0,解得x0=2或x0=-1. 故切线方程为9x-y-16=0或y=2. 3.求导时混淆了常量与变量 例3 求下列函数的导数: (1)f(x)=a+x; (2)f(x)=ex. 错解 (1)f′(x)=(a+x)′=2a+2x. (2)f′(x)=(ex)′=(e)′x+(x)′e=ex+e. 剖析 (1)求导是对自变量的求导,要看清表达式中的自变量.本题的自变量是x,而a是常量. (2)中误把常数e当作了变量. ππ π π π π 2 2 π2 2 23 2 正解 (1)f′(x)=(a+x)′=2x. (2)f′(x)=(ex)′=e(x)′=e. 4.混淆“在某点处的切线”与“过某点的切线” 例4 已知曲线f(x)=2x-3x,过点M(1,-1)作曲线f(x)的切线,求此切线方程. 错解 因为点M在曲线上,所以M为切点, 又f′(x)=6x-3, 所以切线的斜率为k=f′(1)=6-3=3, 所以由点斜式可求得切线方程为y=3x-4. 剖析 错解直接把M看成是切点,对于此类问题应着重考虑点是否为切点,若已知点是切点,则错解中的方法就是正确的;否则,就要设出切点,由切点写出切线方程,再将已知点代入求得切点坐标进而得到切线方程. 正解 设切点坐标为N(x0,2x0-3x0),f′(x)=6x-3, 所以切线的斜率为k=f′(x0)=6x0-3, 所以切线方程为y-(2x0-3x0)=(6x0-3)·(x-x0). 又点M在切线上, 所以有-1-(2x0-3x0)=(6x0-3)(1-x0), 1解得x0=1或x0=-, 2 故切线方程为3x-y-4=0或3x+2y-1=0. 5.公式或法则记忆不准 42x例5 已知函数f(x)=x+eln x++3,则f′(2)等于( ) 3 2 3 22 3 2 2 3 π π π 22 x12 A.(ln 2+)e+3 212 C.e+3 2 B.0 D.e+3 2 4142xx错解 因为f′(x)=(x)′+(e)′(ln x)′+()′+(3)′=2x+e·-2, xxx12 所以f′(2)=e+3. 2故选C. 剖析 基本初等函数的求导公式和求导法则,是求较复杂函数的基础,上述函数就是四个基本函数y=e,y=ln x,y=x,y=C的和与积构成的,因此求导时需利用求导法则[f(x)g(x)]′=f′(x)g(x)+f(x)g′(x),而不是直接求两个函数导数的乘积. xu42x正解 因为f′(x)=(x)′+(eln x)′+()′+(3)′ xe4 =2x+(e)′·ln x+e(ln x)′-2=2x+eln x+-2, xxx4 xxxx12 所以f′(2)=(ln 2+)e+3. 2故选A. 答案 A 点评 基本初等函数的求导公式中指数与对数函数的求导公式相对较难,而在加、减、乘、除四种求导法则中一定要注意对乘、除两种法则记忆的准确性.