发布时间 : 星期五 文章2017-2018版高中数学第三单元导数及其应用疑难规律方法教学案新人教B版选修1-1更新完毕开始阅读
第三单元 导数及其应用
1 巧用法则求导数
导数的计算包括八个基本初等函数的导数公式，以及和、差、积、商的导数运算法则，它们是导数概念的深化，也是导数应用的基础，起到承上启下的作用．那么在掌握和、差、积、商的导数运算法则时，要注意哪些问题？有哪些方法技巧可以应用？下面就以实例进行说明． 1．函数和(或差)的求导法则 (f(x)±g(x))′＝f′(x)±g′(x) 例1 求下列函数的导数： 1
(1)f(x)＝＋ln x；
x(2)f(x)＝cos x－x－1. 11
解 (1)f′(x)＝－2＋.
xx1
(2)f′(x)＝－sin x－ .
2x点评 记住基本初等函数的导数公式是正确求解导数的关键，此外函数和(或差)的求导法则可以推广到任意有限个可导函数和(或差)的求导．
2．函数积的求导法则
[f(x)g(x)]′＝f′(x)g(x)＋f(x)g′(x) 例2 求下列函数的导数： (1)f(x)＝xe；
(2)f(x)＝(x＋1)(x＋2)(x＋3)．
解 (1)f′(x)＝(xe)′＝(x)′e＋x(e)′ ＝2xe＋xe.
(2)f′(x)＝[(x＋1)(x＋2)(x＋3)]′
＝[(x＋1)(x＋2)]′(x＋3)＋(x＋1)(x＋2)(x＋3)′ ＝[(x＋1)′(x＋2)＋(x＋1)(x＋2)′](x＋3)＋(x＋1)(x＋2)
＝(x＋2＋x＋1)(x＋3)＋(x＋1)(x＋2)＝(2x＋3)(x＋3)＋x＋3x＋2＝3x＋12x＋11. 点评 特别要注意：[f(x)g(x)]′≠f′(x)g′(x)．
同时要记住结论：若C为常数，则[Cf(x)]′＝Cf′(x)，由此进一步可以得到[af(x)±bg(x)]′＝af′(x)±bg′(x)．
2
2
2x2
2xx2xx2x3．函数商的求导法则
?fx?′＝f′xgx－fxg′x(g(x)≠0) ?gx?g2x??
例3 求下列函数的导数： ln x(1)f(x)＝；
x(2)f(x)＝tan x；
11(3)f(x)＝＋ .
1－x1＋xln xln x′·x－ln x·x解 (1)f′(x)＝()′＝2
xx′
＝
1－ln x. 2
xsin x(2)f′(x)＝(tan x)′＝()′
cos x＝
sin x′cos x－sin xcos x′1
＝22.
cosxcosx1＋＝1－x1＋x1
1＋x＋1－x1－x1＋x
(3)因为f(x)＝＝2
， 1－x2－21－x′
所以f′(x)＝()′＝＝2
1－x1－x2
1－x2
.
点评 应在求导之前，先利用代数、三角恒等变换对函数进行化简，然后再求导，这样可以减少运算，提高运算效率． 4．分式求导
对于能够裂项的分式型函数，可将函数转化为几个单项式的和差形式，然后再利用和差的导数公式来解决．
例4 求下列函数的导数：
x2－2x＋3(1)y＝；
x－1x5＋x7＋x9
(2)y＝.
x分析 直接求导，或比较烦杂，或无从下手，这时，我们不妨利用数学运算法则将其分解，那么“曙光就在前头”．
x2－2x＋32
解 (1)因为y＝＝x－1＋，
x－1x－1
所以y′＝1＋
0－2×1
＝1－
x－122x－1
2
. x5＋x7＋x9(2)因为y＝
x＝x＋x＋x，
所以y′＝2x＋3x＋4x.
点评 本题启示我们，对于某些函数式，我们应先根据它的结构特点，适当地对函数式中的项进行合理的“拆”，然后“各个击破”．
2 利用导数求切线方程
曲线的切线问题是高考的常见题型之一．而导数f′(x0)的几何意义为曲线y＝f(x)在点P(x0，
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3
2
3
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f(x0))处的切线的斜率，所以利用导数解决相切问题是常用的方法．下面对“求过一点的切
线方程”的题型做以下归纳． 1．已知切点，求曲线的切线方程
此类题只需求出曲线的导数f′(x)，并代入点斜式方程即可． 例1 曲线f(x)＝x－3x＋1在点(1，－1)处的切线方程为( ) A．y＝3x－4 C．y＝－4x＋3
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2
B．y＝－3x＋2 D．y＝4x－5
解析 由f′(x)＝3x－6x知，曲线在点(1，－1)处的斜率为k＝f′(1)＝－3. 所以切线方程为y－(－1)＝－3(x－1)，即y＝－3x＋2.故选B. 答案 B
2．已知过曲线上一点，求切线方程
过曲线上一点的切线，该点未必是切点，故应先设切点，再求切点，即用待定切点法． 例2 求过曲线f(x)＝x－2x上的点(1，－1)的切线方程． 解 设P(x0，y0)为切点， 则切线的斜率为f′(x0)＝3x0－2. 所以切线方程为y－y0＝(3x0－2)(x－x0)， 即y－(x0－2x0)＝(3x0－2)·(x－x0)． 又知切线过点(1，－1)，
所以－1－(x0－2x0)＝(3x0－2)(1－x0)， 1解得x0＝1或x0＝－. 2
故所求切线方程为y－(1－2)＝(3－2)(x－1)
3
2
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或y－(－＋1)＝(－2)·(x＋)，
842即x－y－2＝0或5x＋4y－1＝0.
点评 可以发现直线5x＋4y－1＝0并不以(1，－1)为切点，实际上是经过点(1，－1)，且以17
(－，)为切点的直线．这说明过曲线上一点的切线，该点未必是切点． 283．已知过曲线外一点，求切线方程
此类题可先设切点，再求切点，即用待定切点法来求解． 1
例3 求过点(2,0)且与曲线f(x)＝相切的直线方程．
x解 设P(x0，y0)为切点， 1
则切线的斜率为f′(x0)＝－2. x0
1
所以切线方程为y－y0＝－2(x－x0)，
x0
11
即y－＝－2(x－x0)．
x0x0
又已知切线过点(2,0)，把它代入上述方程， 11
得－＝－2(2－x0)．
x0x0
1
解得x0＝1，y0＝＝1，
x0
所以所求切线方程为y－1＝－(x－1)，即x＋y－2＝0.
点评 点(2,0)实际上是曲线外的一点，但在解答过程中却无需判断它的确切位置，这充分反映出待定切点法的高效性． 4．求两条曲线的公切线
例4 已知曲线C1：y＝x与C2：y＝－x＋4x－4，直线l与C1，C2都相切，求直线l的方程． 分析 设出直线与两条曲线的切点坐标，分别求出曲线在切点处的切线方程，再利用两个方程所表示的直线重合，建立方程组求解．
解 设l与C1相切于点P(x1，x1)，与C2相切于点Q(x2，－x2＋4x2－4)．由C1：y＝x，得y′＝2x，
则与C1相切于点P的切线方程为y－x1＝2x1(x－x1)， 即y＝2x1x－x1.由C2：y＝－x＋4x－4，得y′＝－2x＋4， 则与C2相切于点Q的切线方程为
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y＝－2(x2－2)x＋x22－4.