发布时间 : 星期一 文章高考数学一轮复习 第二章 函数概念与基本初等函数I 2.3 函数的奇偶性与周期性更新完毕开始阅读
又f(－x)＝(－x)－(－x)＝－x＋x＝－(x－x) ＝－f(x)， ∴函数为奇函数．
1－x(2)由≥0可得函数的定义域为(－1,1]．
1＋x∵函数定义域不关于原点对称， ∴函数为非奇非偶函数．
(3)当x>0时，－x<0，f(x)＝－x＋x， ∴f(－x)＝(－x)－x＝x－x ＝－(－x＋x)＝－f(x)； 当x<0时，－x>0，f(x)＝x＋x， ∴f(－x)＝－(－x)－x＝－x－x ＝－(x＋x)＝－f(x)．
∴对于x∈(－∞，0)∪(0，＋∞)， 均有f(－x)＝－f(x)． ∴函数为奇函数．
思维升华 (1)利用定义判断函数奇偶性的步骤：
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(2)分段函数奇偶性的判断，要注意定义域内x取值的任意性，应分段讨论，讨论时可依据x的范围取相应的解析式化简，判断f(x)与f(－x)的关系，得出结论，也可以利用图象作判断．
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(1)设函数f(x)，g(x)的定义域都为R，且
f(x)是奇函数，g(x)是偶函数，则下列结论中正确的是( )
A．f(x)g(x)是偶函数 B．|f(x)|g(x)是奇函数 C．f(x)|g(x)|是奇函数 D．|f(x)g(x)|是奇函数
(2)函数f(x)＝loga(2＋x)，g(x)＝loga(2－x)(a>0且a≠1)，则函数F(x)＝f(x)＋g(x)，
G(x)＝f(x)－g(x)的奇偶性是( )
A．F(x)是奇函数，G(x)是奇函数 B．F(x)是偶函数，G(x)是奇函数 C．F(x)是偶函数，G(x)是偶函数 D．F(x)是奇函数，G(x)是偶函数 答案 (1)C (2)B
解析 (1)易知f(x)|g(x)|定义域为R， ∵f(x)是奇函数，g(x)是偶函数， ∴f(－x)|g(－x)|＝－f(x)|g(x)|， ∴f(x)|g(x)|为奇函数．
(2)F(x)，G(x)定义域均为(－2,2)，
由已知F(－x)＝f(－x)＋g(－x)＝loga(2－x)＋loga(2＋x)＝F(x)，
G(－x)＝f(－x)－g(－x)＝loga(2－x)－loga(2＋x)＝－G(x)，
∴F(x)是偶函数，G(x)是奇函数． 题型二 函数的周期性
例2 (1)定义在R上的函数f(x)满足f(x＋6)＝f(x)，当－3≤x<－1时，f(x)＝－(x＋2)；当－1≤x<3时，f(x)＝x.则f(1)＋f(2)＋f(3)＋…＋f(2 017)＝________.
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(2)已知f(x)是定义在R上的偶函数，并且f(x＋2)＝－则f(105.5)＝______. 答案 (1)337 (2)2.5
解析 (1)∵f(x＋6)＝f(x)，∴T＝6. ∵当－3≤x<－1时，f(x)＝－(x＋2)； 当－1≤x<3时，f(x)＝x，
∴f(1)＝1，f(2)＝2，f(3)＝f(－3)＝－1，
2
1
fx，当2≤x≤3时，f(x)＝x，
f(4)＝f(－2)＝0，f(5)＝f(－1)＝－1， f(6)＝f(0)＝0，
∴f(1)＋f(2)＋…＋f(6)＝1，
∴f(1)＋f(2)＋f(3)＋…＋f(2 015)＋f(2 016) 2 016＝1×＝336.
6又f(2 017)＝f(1)＝1.
∴f(1)＋f(2)＋f(3)＋…＋f(2 017)＝337. (2)由已知，可得f(x＋4)＝f[(x＋2)＋2] ＝－
f11
＝－x＋21
－
＝f(x)．
fx故函数的周期为4.
∴f(105.5)＝f(4×27－2.5)＝f(－2.5)＝f(2.5)． ∵2≤2.5≤3，由题意，得f(2.5)＝2.5. ∴f(105.5)＝2.5.
思维升华 (1)函数的周期性反映了函数在整个定义域上的性质．对函数周期性的考查，主要涉及函数周期性的判断，利用函数周期性求值． (2)函数周期性的三个常用结论： ①若f(x＋a)＝－f(x)，则T＝2a， ②若f(x＋a)＝
1
fx1
，则T＝2a， ，则T＝2a (a>0)．
③若f(x＋a)＝－
fx 7
设函数f(x)(x∈R)满足f(x＋π)＝f(x)＋
sin
x．当0≤x<π时，f(x)＝0，则f?23π??6???
＝
________________________________________________________________________. 1
答案 2
解析 ∵f(x＋2π)＝f(x＋π)＋sin(x＋π)＝f(x)＋sin x－sin x＝f(x)，∴f(x)的周期T＝2π，
又∵当0≤x<π时，f(x)＝0，∴f?
?5π?＝0，
??6?
?π??π??π?即f?－＋π?＝f?－?＋sin?－?＝0， ?6??6??6?
?π?1?23π?＝f?4π－π?＝f?－π?＝1. ∴f?－?＝，∴f?????6??6?2?6????6?2
题型三 函数性质的综合应用 命题点1 函数奇偶性的应用
例3 (1)已知f(x)，g(x)分别是定义在R上的偶函数和奇函数，且f(x)－g(x)＝x＋x＋1，则f(1)＋g(1)等于( ) A．－3 B．－1 C．1 D．3
(2)(2015·课标全国Ⅰ)若函数f(x)＝xln(x＋a＋x)为偶函数，则a＝________. 答案 (1)C (2)1
解析 (1)因为f(x)是偶函数，g(x)是奇函数，所以f(1)＋g(1)＝f(－1)－g(－1)＝(－1)＋(－1)＋1＝1.故选C.
(2)f(x)为偶函数，则ln(x＋a＋x)为奇函数， 所以ln(x＋a＋x)＋ln(－x＋a＋x)＝0，
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