发布时间 : 星期二 文章《点集拓扑讲义》第七章 紧致性 学习笔记更新完毕开始阅读
所以A＝{
(C)|C∈C*}是A的一个开覆盖．由于A是X的一个紧致子集，
}，覆盖A
所以A有一个有限子族，设为{
即{
一个紧致子集．
}是C*的一个子族并且覆盖f（A）．这证明f（A）是Y的
由上述定理可见，拓扑空间的紧致性是连续映射所保持的性质，因此是拓扑不变性质，也是一个可商性质．
由此可见，由于实数空间R不是紧致空间，而每一个开区间都是与它同胚的，所以每一个开区间（作为子空间）都不是紧致空间．
定理7.1.5 紧致空间中的每一个闭子集都是紧致子集．
证明 设Y是紧致空间X中的一个闭子集．如果A是Y的一个覆盖，它由X中的开集构成．则 族并且覆盖X．则B1-{ 的一个紧致子集．
定理7.1.6 每一个拓扑空间必定是某一个紧致空间的开子空间． 证明:设(X,T)是一个拓扑空间．令∞为任何一个不属于X的元素．令 X*=X∪{∞} T*=T∪ 其中
∪{X*} ={E
X*|X*-E是拓扑空间(X,T)中的一个紧致闭集}
是X的一个开覆盖．设B1是B的一个有限子}便是A的一个有限子族并且覆盖Y．这证明Y是X
首先验证T*是集合X*的一个拓扑．(略)
5
其次．证明(X*,T*)是一个紧致空间:
设C*是X*的一个开覆盖．则存在C∈C*使得∞∈C．于是C∈
,因此X*-C
是紧致的,并且C*-{C}是它的一个开覆盖．于是C*-{C}有一个有限子族,设为
C1,覆盖X*-C．易见C1∪{C}是C*的一个有限子族,并且覆盖X*．
最后,我们指出拓扑空间(X,T)是拓扑空间(X*,T*)的一个开子空间．这是因为T =
在以上定理的证明中由拓扑空间(X,T)构造出来的紧致空间(X*,T*),通常称为拓扑空间(X,T)的一点紧化．
由于非紧致空间（它是存在的）是它的一点紧化的一个子空间，因此紧致性不是可遗传的性质．但由定理7.1.5可知紧致性是闭遗传的．
以下定理表明紧致性是可积性质．
定理7.1.7 设
是一个紧致空间．
证明(略) 作业:
P188 1．4．5．
是n≥1个紧致空间．则积空间
及X是X*的一个开集．
§7.2 紧致性与分离性公理
本节重点:
掌握紧致空间中各分离性公理的关系； 掌握Hausdorff空间中紧致子集的性质.
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在本节中我们把第六章中研究的诸分离性公理和紧致性放在一起进行考察、我们将会发现在紧致空间中分离性公理变得十分简单了．此外在本节的后半部分，我们给出从紧致空间到Hausdorff空间的连续映射的一个十分重要的性质．
定理7.2.1 设X是一个Hausdorff空间．如果A是X的一个不包含点x∈X的紧致子集，则点x和紧致子集A分别有开邻域U和V使得U∩V=
证明 设A是一个紧致子集，x∈
．
．对于每一个y∈A，由于X是一个
和y的一个开邻域
Hausdorff空间，故存在x的一个开邻域
．集族{
有限子族，设为 {
|y∈A}明显是紧致子集A的一个开覆盖，它有一个}，覆盖A．令
，它们分
别是点x和集合A的开邻域．此外，由于对于每一个i=1，2，?，n有：
所以
推论7.2.2 Hausdorff空间中的每一个紧致子集都是闭集．
证明 设A是Hausdorff空间X的一个紧致子集．对于任何x∈X，如果xA，则根据定理7.2.1可见x不是A的凝聚点．因此凡A的凝聚点都在A中，从而A是一个闭集．
推论7.2.2 结合定理7.1.5可见：
推论7.2.3 在一个紧致的Hausdorff空间中，一个集合是闭集的充分必要条件是它是一个紧致子集．
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为了加强读者对定理7.1.5，推论7.2.2和推论7.2.3中的几个简单而常用的结论的印象，重新简明地列举如下：
紧致空间：闭集
紧致子集
紧致子集
紧致子集
Hausdorff空间：闭集
紧致的hausdorff空间：闭集
推论7.2.4 每一个紧致的Haudorff空间都是正则空间．
证明 设A是紧致的Hausdorff空间X的一个闭子集，x是X中的一个不属于集合A的点．由于紧致空间中的闭子集是紧致的（参见定理7.1.5），所以A是一个紧致子集．又根据定理7.2.1，点x和集合A分别有开邻域U和V使得U∩V=
定理7.2.5 设X是一个Hausdorff空间．如果A和B是X的两个无交的紧致子集，则它们分别有开邻域U和V使得U∩V=
．
．这就证明了X是一个正则空间．
证明 设A和B是X的两个无交的紧致子集．对于任何x∈A，根据定理7.2.1，点x和集合B分别有开邻域
紧致子集A的一个开覆盖，它有一个有限子族，设为{
∩V=
，所以U∩V=
．
．集族{
|x∈A}是}，覆盖A．令
由于对于每一个i＝1，2，?，n有
由于Hausdorff空间的每一个闭子集都是紧致子集，所以根据定理7.2.5立即有：
推论7.2.6 每一个紧致的Hausdorff空间都是
的，
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