发布时间 : 星期三 文章4-1-5_图形的分割与拼接[题库教师版更新完毕开始阅读
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作三角形的中位线，旋转180°即可转化为平行四边形，然后拼成长方形，如右下图．
方法一： 方法二：
【巩固】试将任意一个矩形分成两块，然后拼成一个三角形．
方法一： 方法二：
【解析】 方法一：考虑到矩形沿对角线可以分成两个相同的三角形，两个完全相同的三角形即可拼成一个
大的三角形，如左上图所示．
方法二：连接矩形一个角与一边中点的连线，将分割出的三角形沿中点处旋转180°即可，如右上图
所示．
【巩固】试将任意一个矩形分成三块，然后拼成一个三角形．
方法一： 方法二：
【解析】 将例题逆推即可．
【例 38】 把一个正方形分成8块，再把它们拼成一个正方形和一个长方形，使这个正方形和长方形的面
积相等．
【解析】 连接正方形的对角线，把正方形分成了4个相等的等腰直角三角形，再连接各腰中点，又把它们分
成4个小等腰直角三角形和4个等腰梯形．(如图⑴所示)，出于分成正方形、长方形面积相等的要求考虑：分别取出两个小等腰直角三角形和两个梯形，就能一一拼出所要求的正方形和长方形了(如图⑵、⑶所示)．
5184372635162784 ⑴ ⑵ ⑶
【例 39】 有一块长8米、宽3米的长方形地毯，现在要把它移到长6米、宽4米的新房间里．请找出一
种剪裁方法，使剪后的各块拼合后正好能铺满房间的地面，为了使剪后的地毯尽量完整，就要使剪裁的块数尽可能地少，应怎样剪拼？
【解析】 地毯的面积为8?3?24平方米，新房间的面积为6?4?24平方米，两者虽然长、宽不相等，但面积
相等．通过对比不难发现：地毯的长比房间的长多2米，房间的宽比地毯的宽多1米，因此，我们可以把地毯看做由12个2?1(平方米)的小长方形组成的大长方形，如左下图所示，要达到题目的要求，只要使原地毯的长缩短一小格．即减少2米，使原地毯的宽增加一小格，即增加1米，我们可以沿对角线的方向，把它剪成阶梯形的两块，并使它们的形状和大小完全相同，如中间图，然后把它们错位互相拼接在一起，即阴影部分先向上平行移动1米，再向右平行移动2米，即得右下图．
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【例 40】
如何把一个长20厘米、宽12厘米的长方形切成两块，拼成一个长16厘米、宽15厘米的新长方形．
→
4343434334
3
43434
图d 图e 【解析】 因为原长方形比新长方形的长多4厘米，新长方形比原长方形的宽多3厘米，因此我们把原长方形
分成20个长4厘米，宽3厘米的小长方形．因为新长方形的长为16厘米，所以原长方形的长应减少一个小长方形，而新长方形的宽为15厘米，所以原长方形的宽应增加一个小长方形．可以沿对角线的方向，把它切成k阶梯状的两块，并使他们的形状和大小完全相同，然后把它们相互错位交在一起，即白色部分往上爬了一个台阶，这样便拼成了一个新的长方形．
具体操作中可按图d中的粗线把长方形分成两块，一移一错一对，便可得到如图e所示的长为16 厘米，宽为15厘米的新长方形．
【例 41】 长方形长24厘米，宽15厘米．把它剪成两块，使它们拼成一个长20厘米，宽18厘米的长方
形．
444154342433203418443343343343
【解析】 长方形面积?24?15?360(平方厘米)，拼成的长方形面积?20?18?360(平方厘米)，面积相等，只
是长、宽不等，但它们都可以分成30个4×3的小长方形，拼成的长方形的一半应有15个4?3的小长方形，即5?4?3?2?1?15．所以才有如上图的剪切方法．
【例 42】 如下图长方形的长、宽分别为120厘米、90厘米，正中央开有小长方形孔，长为80厘米，宽
为10厘米，要拼成面积为100平方厘米的正方形．问如何切分，能使划分的块数最少．
【解析】 切分前面积为120?90?80?10?10000(平方厘米)，应与拼成后的正方形面积相等．拼成后正方形的
边长x?100厘米．因为：100?120?20?90?10．假设上图切成两块如下左图，然后将右块向上平
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移10厘米，再向左平移20厘米，就拼成了一个正方形，切分线不可能是直线，一定是折线段．切分后的两块类似阶梯形，然后由两个阶梯互相啮合，组成一个正方形，如下右图．
201020102010201010201020102010
【例 43】
把下图中两个图形中的某一个分成三块，最后都拼在一起，使它们成为一个正方形．
107乙4210甲5
【解析】 不管分其中的哪一块，最后拼得正方形的面积与图中两块面积和相等，甲面积?10?5?50(平方厘
米)；乙面积?10?7?（7?2）?4?70?20?50(平方厘米)．
所以甲面积?乙面积?50?50?100(平方厘米)，也就是最后拼得正方形的边长为10厘米．甲、乙两图形各有一边是10厘米，可视为正方形的一条边，然后把乙剪成三块(如右下图所示)拼成的正方形，即可．
6223327乙4210525105
【例 44】 如下图两个正方形的边长分别是a和b(a ?b)，将边长为a的正方形切成四块大小、形状都相同
的图形，与另一个正方形拼在一起组成一个正方形．
DEMC
ⅡOFⅡⅠⅠbaabbANⅢOⅣⅢ
⑴ ⑵ ⑶ 【解析】 拼成大正方形的面积应是a?a?b?b，设边长c，则有等式c?c?a?a?b?b，又因为将边长为a的
正方形切成四个全等形，那么分割线一定经过正方形中心，假设切割线MN为大正方形边长，如图
（a?b）?2，⑴，一定有MN?MN?a?a?b?b，而MH?a，则：NH?b，所以AN?CM?BH?由此可以确定MN，然后将MN绕中心O旋转90o到EF位置，即可把正方形切成符合要求的4块．如
图⑵与图⑶．这种分法同时确保图⑶的中间部分就是边长为b的小正方形．这是因为： ⑴中心四边形的角即边长为a的正方形的四个角，∠A，∠B，∠C，∠D，又因为各边长度相等．因此中心四边形是正方形．
（a?b）?2]?（a?b）?2?a?（a?b）?b． ⑵中心正方形的边长?[a?因此，中间部分是边长为b的正方形．
【例 45】
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HBⅣ如下图所示，这是一张十字形纸片，它是由五个全等正方形组成，试沿一直线将它剪成两片，
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然后再沿另一直线将其中一片剪成两片，使得最后得到的三片拼成两个并列的正方形．
甲’甲乙 ’乙
【解析】 实际拼成两个并列的正方形就是一个长方形，其长是宽的2倍，设十字形面积是5个平方单位，长
方形的长为x长度单位，宽为
xx2222长度单位，那么有x?5,x?10，即x?3?1，由勾股定理可22知：所求长方形的长可视为一直角三角形直角边分别是3和1的斜边．它恰是两个对角顶点的连线．剪
拼方法如右图所示，甲拼在甲′位置，乙拼在乙′位置，就可得符合题意的图形．
【总结】假若沿第二条线把另一片也剪成两片，那么共剪成的4片是4个全等多边形，这时两条直线都经过
十字形的中心，并且互相垂直．剪开的这4个图形其中一个绕中心旋转90o也和另一个重合．由此我们便得到一个重要结论：对于一个正方形来讲，如果从中心沿360o?4?90o角的两边切开，得到整
111个图形的，这个的图形若绕中心旋转90o一定和另外的的图形重合．对于一个正三角形来讲，
44411如果从中心沿360o?3?120o角的两边切开，得到整个图形的，这个的图形若绕中心旋转120o一
33360o1定也和另外的的图形重合．一般情况：对于一个正n边形，如果从它的中心沿的角的两边剪
n3o360111开，得到整个图形的，这个的图形若绕中心旋转角，一定也和另一个图形重合．
nnnn
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