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△A1A2A3的三边，A1A2：x3=0；A1A3：x2=0；A2A3：x1=0。 从变换式（2）可求得△A1A2A3的三边在坐标系△A1'A2'A3'下的方程：
x'1+x'2=0，即A1A2的方程。 x'1+x'3=0，即A1A3的方程。 x'2+x'3=0，即A2A3的方程。
7、若有两个坐标系，同以△A1A2A3为坐标三角形，但单位点不同，那么两种坐标间的转换式为何？
??a11x1?a12x2?a13x3,??x1???a21x1?a22x2?a23x3,??x2???a31x1?a32x2?a33x3??x3aij?0 解：设变换式为：
已知（1,0,0）→（1,0,0）,（0,1,0）→（0,1,0）,（0,0,1）→（0,0,1）分别代入变换式得
ρ1=a11，a21=0，a31=0； ρ2=a22，a12=0，a32=0；ρ3=a33，a13=0，a23=0
??a11x1,??x1???a22x2,??x2???a33x3??x3aij?a11a22a33?0 故有
又（1,1,1）→（a,b,c）
??a?a11,???b?a22,?∴??c?a33
即a：b：c = a11：a22：a33
aij?abc?0??ax1,??x1???bx2,??x2?故变换式为：??x3??cx3
8、在拓广欧氏平面上求平移
?x??x?a,?y??y?b?的二重元素。
解：设
??x1?ax3,??x1?x1x2??x2?bx3,??x2??x3??x3x=x3，y=x3，则有?1??由001??0ab1??
3?0得?1????0 （1）求二重点：
0，即μ=1为三重根。
将μ=1
?(1??)x1?ax3?0??(1??)x2?bx3?0?(1??)x3?0代入方程组：?解得：x3?0
所以在有限欧氏平面上，在平移变换下无二重元素，
在拓广欧氏平面上，1∞上的所有点（ x1，x2，0）皆为二重点。 （2）求二重直线： λ=1为三重根。
?(1??)u1?0??(1??)u2?0?代入方程组：?au1?bu2?(1??)u3?0将λ=1得u1，u2可取任意数，且
au1+bu2+0u3=0
b所以二重直线是通过点（a，b，0）的一切直线，即以a为斜率的平
行线束及无穷远线，这平行线束即平移方向的直线集合。
???x1,??x1???x2,(1)??x2?9、求射影变换??x3??x3的二重元素。
?(?1??)x1?0??(1??)x2?0(2)?解：（i）求二重点：二重点（x1，x2，x3）应满足?(1??)x3?0
?1??由0001??0001???0得??1????1????02，∴μ1=1为二重根，μ2=－1为
单根。
将μ1=1代入（2）式得x1=0，x2，x3为任意数，所以二重点为（0，x2，x3），
但x2，x3不同时为零，此为坐标三角形的边x1=0上的一切点； 将μ2=－1代入（2）式得二重点（x1，0，0），此为坐标三角形的顶点A1（1，0，0）。
（ii）求二重直线： λ1=1及λ2=－1，
?(?1??)u1?0??(1??)u2?0(3)?(1??)u3?0代入?得二重直线
将λ1=1u1=0，即过A1（1，0，0）
的一切直线；
将λ=－1代入（3）得二重直线x1=0，为坐标三角形的边A2A3。
??x1?x2,??x1???x2,(1)??x2?10、求射影变换??x3??x3的二重元素。
?(1??)x1?x2?0?(2)?(1??)x2?0??(1??)x3?0
解：（i）求二重点：（x1，x2，x3）满足
1??由0011??0001???0得?1????03
，有三重根μ=1，
将μ=1代入（2）式得二重点为x2=0, 即坐标三角形的边A1A3上所有的点。
（ii）求二重直线：λ=1为三重根，
?(1??)u1?0??u1?(1??)u2?0(3)?(1??)u3?0代入?得
将λ=1u1=0, u2, u3为任意数，
即二重直线为以A1(1,0,0)为中心的线束。
??4x1?x2,??x1???6x1?3x2,(1)??x2??x1?x2?x3??x311、求射影变换?的二重元素。
解
?(4??)x1?x2?0?(2)?6x1?(?3??)x2?0?x1?x2?(?1??)x3?0 （i）求二重点：二重点（x1，x2，x3）满足?
?1?3???100?1???04??由61，得(μ+1) (μ+2) (－μ+3) = 0，所以特征根μ
=-1，-2，3。
取μ=－1代入（2）得二重点为（0，0，x3）即（0,0,1）， 取μ=－2代入（2）得二重点为（1，6，5）， 取μ=3 代入（2）得二重点为（1，1，0）。 （ii）求二重直线：特征根λ=－1，－2，3。
?(4??)u1?6u2?u3?0???u1?(?3??)u2?u3?0(3)?代入?(?1??)u3?0
取λ=－1－1）
得二重直线为（1，－1，
取λ=－2代入（3）得二重直线为（1，－1，0） 取λ=3 代入（3）得二重直线为（－6，1，0）。