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高几习题集及参考解答
第一章 仿射几何的基本概念
1、证明线段的中点是仿射不变性，角的平分线不是仿射不变性。 证明：设T为仿射变换，根据平面仿射几何的基本定理，T可使等腰△ABC（AB=AC）与一般△A'B'C'相对应，设点D为线段BC的中点，则AD⊥BC，且β=γ，T（D）=D' （图1）。∵T保留简比不变， 即（BCD）=（B'C'D'）= -1，
∴D'是B'C'的中点。因此线段中点是仿射不变性。 ∵在等腰△ABC中，β=γ。
设T（ β）= β'，T（ γ ）= γ'，
图(1)但一般△A'B'C'中，过A'的中线A'D'并不平分∠A'， 即B'与γ'一般不等。 ∴角平分线不是仿射不变性。
在等腰△ABC中，设D是BC的中点，则AD?BC，由于 T(△ABC)= △A'B'C'（一般三角形），D'仍为B'C'的中点。 由于在一般三角形中，中线A'D'并不垂直底边B'C'。得下题 2、两条直线垂直是不是仿射不变性？ 答:两直线垂直不是仿射不变性。
3、证明三角形的中线和重心是仿射不变性。
证明：设仿射变换T将△ABC 变为△A'B'C'，D、E、F分别是BC、
CA，AB边的中点。
由于仿射变换保留简比不变，所以D' =T(D)，E'=T(E)，F'=T(F)分别是B'C',C'A',A'B'
的中点，因此A'D'，B'E'，C'F'是△A'B'C'的三条中线（图2）。 设G是△ABC的重心，且G'=T(G) ∵G∈AD，由结合性得G '∈A'D'； 又∵（AGD）=（A'G'D'）即
??D3ADA????D1 GDG
BEB?E?3CFC?F?3同理可得：??，??????GEGE1GFGF1
∴G'是△A'B'C'的重心。 图 2 4、证明梯形在仿射对应下仍为梯形。
证明：设在仿射对应下梯形ABCD（AB??CD）与四边形A'B'C'D'相对应，
由于仿射对应保持平行性不变，因此 A'B'??C'D'，所以A'B'C'D'为梯形。
5、证明两个全等矩形经过仿射变换为两个等积平行四边形。 证明：设T为仿射变换，A1B1C1D1与A2B2C2D2为两个全等矩形，其面积分别以S1=S2。 由于T保留平行性，所以：
T（A1B1C1D1）= 平行四边形A'1B'1C'1D'1, 面积记为：S'1 T（A2B2C2D2）= 平行四边形A'2B'2C'2D'2, 面积记为：S'2， 且 S'1=K S1，S'2=KS2，
?S1?KS1???1?S1??S2?KS2S2
∴ A'1B'1C'1D'1与A'2B'2C'2D'2是等积的平行四边形。
6、经过A（-3，2）和B（6，1）两点的直线被直线X+3y-6=0截于P点，求简比（ABP）
解：设P点的坐标为（x0，yo）
(ABP)?APAP?3?6?2???????而:x0?,y0?BPPB1??1?? （分割比），
?(?3?6?2??)?3()?6?01??1??
且P在直线x+3y-6=0上，
解得λ=1，即P是AB中点，且（ABP）=－1。
7、证明直线Ax+By+C=0将两点P1（x1，y1）和P2（x2，y2）的联线段分成 的比是
?Ax1?By1?CAx2?By2?C
APPB证明 设分点为P（x0，y0），则分割比λ=
x0?x1??x2y??y2,y0?11??1??(???1)，
P（x0，y0）在直线Ax+By+C=0上，
?A(x1??x2y??y2)?B(1)?C?01??1??
图(3) Ax1+By 1+C+λ(Ax2+By2+C)=0
????Ax1?By1?CAx2?By2?C
8、证明一直线上二线段之比是仿射不变量。 证明：若直线a上两线段AB和CD经仿射变换T后与直线a'上的两
段
A'B'和C'D'对应图（3）
9、证明图形的对称中心是仿射不变性，图形的对称轴和对称平面是不是仿射不变性？
证明：设仿射变换T将中心对称图形F变为图形F'，点O是F的对称中心，
A，B为图形F上关于点O对称的任意一对对称点。 设T（O）=O'，T（A）=A' T（B）=B'。
∵T（F）=F'，由结合性，点A'，B'在图形F'上； 由简比不变性，（ABO）= (A'B'O')。
所以F'是中心对称图形，从而图形的对称中心是仿射不变性。 如果点A、B关于直线l（平面π）对称，则线段AB⊥1（AB⊥π）。
但仿射变换不保留角的度量，所以当T（A）=A'，T（B）=B'， T（1）=1'（T（π）=π'）时，线段A'B'不一定垂直线1'（平面π'）。
10、在仿射坐标系下，直线方程是一次的。
证明：设在笛氏坐标系下直线方程为： Ax+By+C=0 （1）
?ABABBCA?B?B?C?A?B??????,CDBCCDB?C?C?D?C?D?
得证。